[学业水平训练]
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为________．
???3x＋2y＋6＝0?x＝－4
解析：由方程组?，得?，
???2x＋5y－7＝0?y＝3
所以两直线的交点坐标为(－4,3)．
答案：(－4,3)
2．经过原点，且经过直线2x＋y－5＝0和x－2y＝0的交点的直线方程是________．
???2x＋y－5＝0?x＝2
解析：解方程组?，得?，
???x－2y＝0?y＝1
所以两直线的交点坐标为(2,1)，又所求直线经过原点，故所求直线方程为x－2y＝0. 答案：x－2y＝0
3．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是________．
???y＝－2x＋3k＋14?x＝k＋6
解析：解方程组?，得?.由直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y
???x－4y＝－3k－2?y＝k＋2
＝－3k－2的交点位于第四象限，得k＋6＞0且k＋2＜0，解得－6＜k＜－2.
答案：－6＜k＜－2
4．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a、b的值分别为________、________.
??2x＋3y－8＝0
解析：由方程组?，得交点B(1,2)，
??x－2y＋3＝0
代入方程ax＋by－11＝0中有a＋2b－11＝0. ① 又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，
a3
所以－＝－，②
b4111≠.③ b2
由①②③知a＝3，b＝4.
答案：3 4
5．直线x＋a2y＋6＝0和(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为________． 解析：两直线无公共点，即两直线平行．
当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点； a－21
当a≠0时，－2＝－，解得a＝－1或a＝3.
a3a
当a＝3时，这两条直线分别为x＋9y＋6＝0，x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；当a＝－1时，两直线分别为x＋y＋6＝0,3x＋3y＋2＝0，两直线平行，
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无公共点．
综上，a＝0或a＝－1.
答案：0或－1 6．设两直线(m＋2)x－y－2＋m＝0，x＋y＝0与x轴构成三角形，则m的取值范围为________． 解析：∵(m＋2)x－y－2＋m＝0与x轴相交，
∴m≠－2，又(m＋2)x－y－2＋m＝0与x＋y＝0相交， ∴m＋2≠－1，∴m≠－3， 又∵x＋y＝0与x轴交点为(0,0)， ∴(m＋2)·0－0－2＋m≠0， ∴m≠2，故m≠±2，且m≠－3.
答案：{m|m≠±2，且m≠－3}
7．当实数m为何值时，直线mx＋y＋2＝0与直线x＋my＋m＋1＝0：(1)平行；(2)重合；(3)相交？
解：m＝0时，两直线互相垂直，属相交．
??k1＝－m，
当m≠0时，?
??b1＝－2，
??k＝－m，
?m＋1b＝－.??m
22
1
??
(1)两直线平行??m＋1
－2≠－.??m
1－m＝－，
m
1
－m＝－，
m
??
(2)两直线重合??m＋1
－2＝－，??m
(3)两直线相交?m≠1且m≠－1.
∴m＝－1.
∴m＝1.
8．已知a为实数，两直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋y－a＝0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上．
证明：若a＝1，则l1∥l2，不符合题意，所以a≠1.
??ax＋y＋1＝0
解方程组?，得
?x＋y－a＝0?
a2＋1)， 1－a
??
?a＋1y＝－??1－a
2
a＋1x＝
1－a
，所以两条直线的交点坐标为(
a＋11－a
，－
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a2＋1
显然，－≠0，故交点不可能在x轴上．
1－a
a＋1a2＋1a2＋1a＋1
当a＞1时，＜0，－＝＞0，此时交点在第二象限；当－1＜a＜1时，＞
1－a1－aa－11－aa2＋1a2＋1a＋1a2＋1
0，－＝＜0，此时交点在第四象限；当a＝－1时，＝0，－＝－1，此
1－aa－11－a1－aa＋1时交点在y轴上；当a＜－1时，＜0，
1－aa2＋1a2＋1－＝＜0，此时交点在第三象限． 1－aa－1综上所述，交点不可能在第一象限及x轴上．
[高考水平训练]
1．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为________．
m2
解析：由两条直线互相垂直得－×＝－1，即m＝10.由于点(1，p)在两条直线上，从而有
45
??m＋4p－2＝0，
?
??2－5p＋n＝0.
可解得p＝－2，n＝－12，∴m＋p－n＝10－2＋12＝20.
答案：20
2．在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0，p)在线段AO上(异于端点)．设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确算得OE的方程： 1111
(－)x＋(－)y＝0，请你求OF的方程： bcpa
11
________x＋(－)y＝0.
pa
xyxy
解析：直线AB的截距式方程为＋＝1，直线CP的截距式方程为＋＝1，将两方程相减
bacp
1111
得(－)x＋(－)y＝0，显然O点满足该方程，而该方程又是由两直线方程相减得到的，因cbpa
1111
此直线AB与直线CP的交点F也满足该方程，从而方程(－)x＋(－)y＝0即是OF的方
cbpa程． 11?答案：??c－b?
3．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0，求分别满足下列条件的m的值：
(1)使这三条直线交于同一点； (2)使这三条直线不能构成三角形．
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??4x＋y－4＝0，
解：(1)要使三条直线交于同一点，则l1与l2不平行，所以m≠4.由?得
??mx＋y＝0，
4
x＝，?4－m?
?－4my＝，??4－m
?4－4m?－4m4
，即l1与l2的交点为?－3m·－4?.代入l3的方程得2×4－m4－m4－m4－m??
2
＝0，解得m＝－1或.
32
∴当m＝－1或m＝时，l1，l2，l3交于一点．
3
2
(2)若l1，l2，l3交于同一点，则m＝－1或.
3
再考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．
2
①若m≠0，则k1＝－4，k2＝－m，k3＝，
3m
1
当m＝4时，k1＝k2；当m＝－时，k1＝k3；而k2与k3不可能相等．
6
②若m＝0，则l1：4x＋y－4＝0，l2：y＝0，l3：2x－4＝0，这时三条直线能围成三角形．
1
∴当m＝4或m＝－时，三条直线不能围成三角形．
6
12
综上所述，当m＝－1，－，，4时，三条直线不能围成三角形．
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4．已知直线l的方程为：(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0. (1)求证：不论m为何值，直线必过定点M.
(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程． 解：(1)证明：原方程整理得：(x－2y－3)m＋2x＋y＋4＝0.
???x－2y－3＝0，?x＝－1，由?解得? ???2x＋y＋4＝0.?y＝－2.
∴不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2)． (2)设直线l1的方程为：y＝k(x＋1)－2(k＜0)． k－2令y＝0，x＝，令x＝0，y＝k－2.
－k1?k－2?1??－k?＋4＋4?∴S△＝?|k－2|＝?，
－k?2－k?2??
??
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x＋＋4?在x∈(0,2]时为减函数，在x∈[2，＋∞)时为增函数，所以x＝2，设－k＝x，S△＝??2?x即k＝－2时，三角形面积最小． 则l1的方程为2x＋y＋4＝0.
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2018-2019数学苏教版必修2 第2章2.1.4 两条直线的交点 作业
