2020-2021学年度第一学期学情调研测试
高二数学
考试时间：120分钟； 考试满分：150分钟；
命题人：
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅰ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅰ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知直线3??+4???3=0与直线6??+????+14=0平行，则它们之
间的距离是( )
A. 17
10
B.
17
5
C. 8 D. 2
2. 过点(2,√3)，焦点在x轴上且与椭圆??2
??24
+
3
=1有相同的离心率的
椭圆方程为( )
A. ??2+??2=1
B.
??2+
??26
4
16
12
=1
C.
??2??212
+
9
=1
D.
??2??28
+
6
=1
3. 若椭圆??：??2+??28
4
=1的右焦点为F，且与直线??：???√3??+2=0
交于P，Q两点，则△??????的周长为( ) A. 6√2
B. 8√2
C. 6
D. 8
4. 已知??? =(1???,1???,??)，? ??=(2,??,??)，则|??? ?? ??|的最小值为
A. √53√55
B. C. √555
5
D.
11
5
5. 若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则cos
的值为( )
A. 1
22
B. √2
C. ?1
2
D. 0 6. 雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的
象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在????△??????中，∠??????=70.5°，在????△??????中，∠??????=45°，且????=2.3米，求像体AD的高度( )
(最后结果精确到0.1米，参考数据：??????70.5°≈0.943，??????70.5°≈0.334，??????70.5°≈2.824) A. 4.0米
B. 4.2米 C. 4.3米
D. 4.4米
7. 在????????中，cos??sin??cos??+cos(??+
??)cos??sin??=0，则????????的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形或直角三
角形
8. 若圆M：??2+??2?6??+8??=0上至少有3个点到直线l：???1=
??(???3)的距离为5
2，则k的取值范围是( ) A. [?√3,0)∪(0,√3] B. [?√3,√3]
C. (?∞,?√3]∪[√3,+∞)
D. (?∞,?√3)∪(√3,+∞)
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
第7页，共7页
9. 已知??(?4,6，?1)，??(4,3，2)，则下列各向量中是平面??????(??是坐
标原点)的一个法向量的是( )
A. (?
1515
4
,1,9)
B. (4
,1,?9)
C. (?15,4，36) D. (15,4，?36)
10. 若椭圆
??2
+??21
??
4
=1的离心率为2，则m的取值为( )
A. 16
173
B. 6 C. 3 D. 3
11. 已知??，??是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直
线，则给出的下列说法中，正确的是( ) A. 若??⊥??，??⊥??，则?? // ?? B. 若?? // ??，?? // ??，则?? // ?? C. 若??⊥??，?? // ??，则??⊥??
D. 若?? // ??，??⊥??，则??⊥??
12. 如图，在直三棱柱?????????1??1??1中，
????=????=????1=2，∠??????=90°，D，E，F分别为AC，????1，AB的中点．则下列结论正确的
是( )
A. ????1与EF相交
B. ??1??1//平面DEF C. EF与????1所成的角为90°
D. 点??1到平面DEF的距离为3√22
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若直线??+?????=0被圆??2+??2=4截得的弦长为2√2，则实数a
的值为______．
(1)若????? //??? ，求x的值；
??? ???? =，求sin(???12)的值． (2)若??5
3
??
(Ⅱ)若二面角??1????????的大小为4，求直线????1与平面??????1所成角的正弦值．
??
14. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在直角坐标xOy中，设军营所在平面区域的边界为??2+??2=4，河岸线所在直线方程??+???6=0，假定将军从点??(3,?2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为________．
15. 已知如图，PA、PB、PC互相垂直，且长度相等，E为AB中点，
则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为______ ． 16. 已知正方体???????????1??1??1??1的棱长为
2√3，其内有2个不同的小球，球??1与三棱锥???????1??1的四个面都相切，球??2与三棱锥???????1??1的三个面和球??1都相切，则球??1的体积等于 ，球??2的表面积等于 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点坐标为??1(?2,0)和??2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|????1|+|????2|=8；
5
(2)离心率是√，长轴长与短轴长之差为2．
3
19. 在锐角△??????中，??=2√3，_______．
(1)求角A；
(2)求△??????的周长l的范围．
??? =(?cos,sin)，??? =(cos,sin)，且????? ???? =?， 注：在①??22222②????????(2?????)=??????????，
③??(??)=??????????????(???)?，??(??)=
344
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．如果选择多个条件分别作答，按第一个解答积分．
20. 如图，四棱锥???ABCD中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，????=????=????，E是PD的中点． ∠??????=∠??????=90°，2(1)证明：直线CE//平面PAB； (2)求二面角???PC???的余弦值．
21. 如图，在三棱柱?????????1??1??1中，侧棱????1⊥底面??1??1??1，底面三
角形??1??1??1是边长为2的正三角形，点E是线段BC的中点．
1
??
1
1
??
??
??
??
1
22. 已知直角坐标系xoy中，圆??:??2+??2=16
求m的方程； ①过点??(4,2)作圆O的切线m，
②直线??:??=????+??与圆O交于点??,??两点，
已知??(8,0)，若x轴平分∠??????，证明：不论k取何值，直线l与x轴的交点为定点，并求出此定点坐标。
√31
18. 已知??∈[0,3]，设向量????? =(sin??,cos??)，??? =(,)．
2
2
??
(Ⅰ)若点M为线段??1??1的中点，且????⊥平面??????1，求????1的值；
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2020-2021学年度第一学期学情调研测试
答案和解析
【答案】
1. D
2. D 3. B 4. B 5. D 6. B 7.
D
8. C 9. BD 10. AC 11. AD 12. BCD
13. ±2
14. √73?2
15. √66
16. 4
3??；??
17. 解：(1)根据题意，要求椭圆的焦点坐标为??1(?2,0)和??2(2,0)，
则其焦点在x轴上，且??=2，
又由|????1|+|????2|=8，则2??=8，即??=4， 解可得：??=√??2???2=2√3， 即要求椭圆的标准方程
??216
+
??212
=1；
(2)根据题意，要求椭圆的离心率是√53，长轴长与短轴长之差为
2，
则有{??=??
√5??=
3
，
2???2??=2
解可得：??2=9，??2=4；
若椭圆的焦点在x轴上，则要求椭圆的方程为??2??29
+4=1， 若椭圆的焦点在y轴上，则要求椭圆的方程为??29
+
??24
=1，
故椭圆的方程为
??2??29
+
??24
=1或??29+
4
=1．
18. 解：(1)因为????? =(????????,????????)，??? =
(√31
2,2)，且???
?? //??? ， 所以sin????1
2=cos????√32，即tan???=√3．
又??∈[0,??
??
3]，所以??=3．
(2)因为????? =(????????,????????)，??? =(√
31
??? ???? =3
2,2)，且??
5， 所以√3sin??+1cos??=3，即sin(??+??3
2
2
5
6)=5．
令??=??+????3
6，则??=???6，且sin??=5．
因为??∈[0,??????
3]，所以??∈[6,2]，
所以cos???=√1?sin2??=√1
?(34
5)2
=5，
所以
．
19. 解：(1)若选①，
∵????? =(?cos??
??
??
??
2,sin2)，??? =(cos2,sin2)，且????? ???? =?1
2， ∴
?cos2
??
2
+
sin2
??
1
2
=?2
，
∴????????=1
??
2∵??∈(0,2)， ∴∠??=??
3， (2)∵
??????????=4，
∴??△??????=4??????(
2??3
???)+4????????+2√3，
∴??△??????=4√3sin(??+??
6)+2√3， ∵锐角△??????且∠??=??
3， ∴∠??∈(????
6,2)， ∴??+??
??2??
6∈(3,
3
)，
∴??△??????∈(6+2√3,6√3)，
(1)若选②∵????????(2?????)=??????????，
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∴2??????????=??????????+??????????=?????2+??2???2
???2
2????
+???
??2+??22????
，
∴2??????????=??， ∴????????=1
2， ∵??∈(0,??2)，
∴∠??=??3，
(2)∵
??=4，∴2??????????
??△??????=4??????(3
???)+4????????+2√3，
∴??△??????=4√3sin(??+??
6)+2√3，
∵锐角△??????且∠??=??
3， ∴∠??∈(????
6,2)，
∴??+
??6∈(??2??
3,3)∴??△??????∈(6+2√3,6√3) (1)若选③??(??)=????????(1
31
1
32????????+√2????????)?4=2cos2??+√2
?????????????????
14
，
=1
1+??????2??
√31??
2×
2+
2
×
??????2??2?111
√34=2(2??????2??+
2
??????2??)=2sin(2??+6)，∵??(??)=1
??
1
4∴sin(2??+6)=2， ∵??∈(0,??
2)，
∴∠??=??3，
(2)∵??
????????=4，
∴??△??????=4??????(2??
3???)+4????????+2√3， ∴??△??????=4√3sin(??+??
6)+2√3， ∵锐角△??????且∠??=??3， ∴∠??∈(????
6,2)， ∴??+??
??2??
6∈(3,
3
)，
∴??△??????∈(6+2√3,6√3)
2020-2021学年度第一学期学情调研测试
