例2、分析:在函数y=4x-3·2x+3中,令t=2x,则y=t2-3t+3是t的二次函数,由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围,但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围.
解答:令t=2x,则y=t2-3t+3,依题意有:
∴x≤0或1≤x≤2,即x的范围是(-∞,0]∪[1,2].
小结:当遇到y=f(ax)类的函数时,用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理,再结合指数函数的性质得到原问题的解.
例3、分析:求参数的取值范围题,关键在于由题设条件得出关于参数的不等式. 解答:因为方程有负实数根,即x<0,
所以,
解此不等式,所求a的取值范围是
例4、分析:对于(1),利用函数的单调性的定义去证明;对于(2),可用反解法求得函数的值域.
解答:(1),设x1<x2,则
.
因为x1<x2,所以2x1<2x2,所以0,
,所以.又+1>
+1>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在其定义域(-∞,
+∞)上是增函数.
(2)设,则,因为102x>0,所以
,解得-1<y<1,所以
函数f(x)的值域为(-1,1).
例5、分析:考虑换元法,通过换元将函数化成简单形式来求值域. 解:设t=ax>0,则y=t2+2t-1,对称轴方程为t=-1.
若a>1,x∈[-1,1],∴t=ax∈,∴当t=a时,ymax=a2+2a-1=14.
解得a=3或a=-5(舍去).
高中的数学幂函数指数函数与对数函数(经典练习题目)
例2、分析:在函数y=4x-3·2x+3中,令t=2x,则y=t2-3t+3是t的二次函数,由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围,但t只能取正的部分.根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围.解答:令t=2x,则y=t2-3t+3,依题意有:∴x≤0或1≤x≤2,即x的范围是(-∞,0]∪[1,2].小结:当
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