导数小题中构造函数的技巧
函数与方程思想,转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。
(一)利用f?x?进行抽象函数构造
1、利用f?x?与x构造; 常用构造形式有xf?x?,
f?x?u:这类形式是对u.v，型函数导数计算的推广及
vxuu应用，我们对u.v，的导函数观察可得知，u.v型导函数中体现的是“+”法，型导函数中体现的是
vv“一”法，由此，我们可以猜测。当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u.v型，当导
u函数形式出现的是“一”法形式时，优先考虑构造;
v[例 1]f?x?是定义在R上的偶函数，当x<0时，f?x??xf??x??0，且f??4??0，则不等式xf?x??0的解集为____________.
[例 2]f?x?是定义在R上的偶函数，且 f?1??0，当x<0时，xf??x??f?x??0恒成立，则不等式
f?x??0的解集为____________.
xf?x?,
f?x?是比较简单常见的f?x?与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的，不易想的我们该x如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.
F?x??xnf?x?,F??x??nxn?1f?x??xnf??x??xn?1??nf?x??f??x???
1
f?x?f??x?xn?nxn?1f?x?xf??x??nf?x? F?x??n,F??x???xx2nxn?1结论：出现nf?x??xf??x?形式，构造函数F?x??xnf?x?；
f?x? 出现xf?x??nf??x?形式，构造函数F?x??n；
x[例3]已知偶函数 f?x?(x?0)的导函数为f??x?，且满足f??1?=0，当x>0时，2f?x??xf??x?，则使得f?x??0成立的x的取值范围是___________.
[变式提升]设函数f?x?满足x3f??x??3x2f?x?=1?lnx，且f1，则x>0时，f?x?（ ） 2eA、有极大值，无极小值 B、有极小值，无极大值 C、既有极大值又有极小值 D、既无极大值也无极小值
??e?
f?2)?0，则不等式[例 4]设f?x?是定义在R上的奇函数，在???，0?上有2xf??2x??f?2x??0 ，且 ( xf?2x??0的解集为___________.
（2）利用f?x?与ex构造；
uf?x?与ex构造，一方面是对u.v，函数形式的考察，另外一方面是对?ex?=ex的考察，所以对于
v 2
f?x??f??x?类型，我们可以等同xf?x?，“?”法优先考虑构造F?x??f?x?. exf?x?的类型处理，“+”法优先考虑构造F?x??f?x??ex，x[例 5]已知f?x?是定义在???，???上的函数，导函数f??x?满足f??x??f?x?对于x?R恒成立，则( )
A、f?2??e2f?0?,f?2014??e2014f?0? B、f?2??e2f?0?,f?2014??e2014f?0? C、f?2??e2f?0?,f?2014??e2014f?0? B、f?2??e2f?0?,f?2014??e2014f?0?
f?x?同样exf?x?，x,是比较简单常见的f?x?与ex之间的函数关系式，如果碰见复杂的，我们是否
e也能找出此类函数的一般形式呢？
F?x??enxf?x?,F??x??n?enxf?x??enxf??x??enx??f??x??nf?x???
f??x??nf?x??f?x?f??x?enx?nenxf?x???? F?x??nx,F??x???ee2nxenx结论：出现f??x??nf?x?形式，构造函数F?x??enxf?x?； 出现f??x??nf?x?形式，构造函数F?x??f?x?； enx[例6]若定义在R上的函数f?x?满足f??x??2f?x??0，f?0?=1，则不等式f?x??e2x的解集为_____.
[变式提升]若定义在R上的函数f?x?满足f??x??2f?x??4?0，f?0???1，则不等式f?x?>e2x?2的解集为_________.
3
[例7]已知函数f?x?在R上可导，其导函数为f??x?，若f?x?满足：?x?1???f??x??f?x????0，
f?2?x??f?x?e2?2x，则下列判断一定正确的是（ ）
A、f?1??f?0? B、f?2??e2f?0? C、f?3??e3f?0? D、f?4??e4f?0?
（3）利用f?x?与sinx,cosx构造.
sinx,cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.
F?x??f?x?sinx,F??x??f??x?sinx?f?x?cosx；F?x??F?x??f?x?cosx,F??x??f??x?cosx?f?x?sinx；F?x??
根据得出的关系式，我们来看一下例8
f?x?f??x?sinx?f?x?cosx,F??x??； sinxsin2xf?x?f??x?cosx?f?x?sinx?,F?x??；
cosxcos2x????[例8]已知函数y=f?x?对于任意的x???,?满足f??x?cosx?f?x?sinx?0（其中f??x?是函数
?22?f?x?的导函数），则下列不等式不成立的是（ ）
??????????????????A、2f???f?? B、2f????f??? C、f?0??2f?? D、f?0??2f??
?3??4??3??4??4??3?
4
???[变式提升]定义在?0，?上的函数，函数f??x?是它的导函数，且恒有f?x??f??x?tanx成立，则（）
2???????????????????????A、3f???2f?? B、f?1??2f??sin1 C、2f???f?? D、3f???f??
?4??3??2??6??4??6??3?（二）构造具体函数关系式构造
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.
????[例9]?，????，?，且?sin?-?sin??0，则下列结论正确的是（ ）
?22?
A、??? B、?2??2 C、??? D、????0
log2x?11[变式提升]定义在R上的函数f?x?满足f?1?=1，且对?x?R,f??x??则不等式f?log2x??22的解集为_________.
[例10]等比数列?an?中，a1=2，a8=4，函数f?x??x?x?a1??x?a2???x?a8?，则f??0?=（ ）
A、26 B、29 C、212 D、215
a?2ea1?c??1，其中e是自然对数的底数，那么(a?c)2?(b?d)2的最小[例11]已知实数a,b,c满足bd?1值为( )
A、8 B、10 C、12 D、18
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导数中的构造函数(最全精编)Word版
