1 4.4共角比例定理及应用
///共角比例定理 若在△ABC和?ABC中，?A??A/或?A??A?180,则
/?s?ABCAB?AC?s?A/B/C/A/B/?A/C/? (4.4-1)
证明 不妨设?A与?A重合或互为邻补角，如图4-20所示．这时连BC、BC,由共边比例定 理，有
///s?ABC?S?ABC?s?AB/CABAC?//.//? ?.ss?ABCs?AB/c?A/B/C/ABAC
注 也可由三角形面积公式推导，即
s?ABC?AB?AC??////? 1////S?A/B/C/AB?ACAB?AC?sin?B/A/C/2显然，当AC?AC时，式(4.4-1)即为式(4.3-1)的一种情形，即共角比例定理也可看作共边比例定理的一种推广，
运用共角比例定理，可方便地推证一些基本结论，如
(1)在△ABC中，若∠B＝∠C，则由1?//1AB?AC?sin?BAC2S?BAcBC?ABAB??,得AB?AC. S?CABBC?ACACBDS?ADBADABABABBD??.?,得?? DCS?ADCADACACACDC(2)在△ABC中，若AD平分∠A交BC于D，则由
例1 如图4—21，在△ABC的边AB、AC上分别取点D、E，使AD＝ AE．又设M是BC之中点，AM与DE交于N，求证：
DNAC?? ?NEAB证明 由共角比例定理，有
s?ANDAN?ADs?ANEAN?AE?,?s?ABMAB?AMs?ACMAC?AM?
两式相除，并注意到
BM?MC,AD?AE,S?ACM?s?ABM,
则
NDs?ANDAC???
?ENEs?ANAB 2
例2如图4-22，在△ABC中，?CBA?72,E是AC中点，D在BC上且2BD＝DC，AD与BE交于F，则△BDF与四边形FDCE的面积比是( )．
?1112A. B. C. D. E．这些都不是 5435（第9届美国奥林匹克预赛题）
解选A．理由：用共角比例定理及共边比例定理，得
S?BCEBC?BEBF?FE??3() S?BDFBD?BFBF?3(1?sFE)?3(1?s?ADE)
?ABDBFS?ADES?ADC?.) S?ADC?S?ABD?3(1?即S?.BCE12?3(1?.)?6.
211?6S?BDF,故S?BDF?SFDCE?
5注 上述方法求解时，题中条件?CBA?72?是多余的，
例3 如图4-23，点M和N三等分AC，点X和y三等分BC，AY与BM、BN分别交于点S、R，则四边形SRNM的面积与△ABC的面积之比为 ． （1996年上海市竞赛题）
解 填
5?理由：对△BMC与截线ASY，由梅涅劳斯定理得 42
BSMACYBS11..?..?1, SMACYBSM32 即有
3 BSBS6?6,从而?? SMBM7又对△BNC与截线ARY运用梅涅劳斯定理，有
BRNACYBR21..?..?1, RNACYBRN32BRBR3即有 ?3,从而??
RNBN4由共角比例定理，有
S?BSRBS?BR639?s?BMNBM?BN?7.4?14,
从而 sRSMN?? ?BMN14又由共边比例定理，有
s5S?BMNMN1???
S?ABC??AB3故
SSRNM5S?BMN515??.?? S?ABC.?14S?ABC?14342例4 设M是任意三角形ABC的边BC的中点，在AB、AC上分别取点E、F，连EF与AM交于N．求证：
AM1ABAC（1978年辽宁省竞赛题） ?(?)?
AN2AEAF 证明 如图4-24，由MB ＝ MC，得
S?ABC?2S?ABM?2S?ACM.
对等式S?AEF?S?AEN?S?AFN两边同除以S?ABC,得
SsS?AEFs?AEN?s?AFN???AEN??AFN? S?ABC?S?ABC?2S?ABM2S?ACM对上式，运用共角比例定理得
AE?AF1AE..AF?AN?(?)
AB?AC2AB?AMAC?AM1AEAFAN?(?)?, 2ABAC??
整理即得
AM1ABAC?(?)? AN2AEAF 例5 已知四边形ABCD的对角线AC经过另一对角线BD的中点0，过0作两直线分别与AB、BC、CD、DA交于E、H、F、G,连EH、FG分别与BD相交于P、Q求证：OP=OQ．(§4.3中例5的推广) 证明 如图4-25，连ED 、BG、BF、DH．由共边比例定理和共角比例定理，有
4
?SOPDQS.??OHE.?DGF BPOQS?BHES?OGF?S?OHES?DGFS?DACS?BAC... S?OGFS?DACS?BACS?BHE??OH?OEDG?DFDOBA?BC ...OG?OFDA?DCBOBH?BESs?BDHS?BDES?BDGS?BDFS...?1.?BDA.s?BDC S?BDGS?BDFS?BDAS?BDC?S?BDH?BDE?1.
从而
OPOQOPOQ?,即有?,故OP＝OQ． BPDQBOOD 注此问题是张景中院士提出并证明．本节及上节中的例题的解法，一部也是张院士给出的，
习 题 4.4
1 设D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，且满足?DBC??ECB??1
?A.求证：BE＝CD． 2
2 设△ABC是等腰直角三角形，?C?90.在BC边上取一点M，使CM =2MB，过C作MA的垂线与斜边AB交于P．求
AP? PB3 平行四边形ABCD的面积为60，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别与ED、BD交于G、H，求四边形BHGE的面积．
4 在△ABC的边AB、BC、CA上分别取M、K、L．求证：△AML、△BMK、△CKL中至少有一个面积不大于
1S?ABC?.（第8届IMO试题） 45 在凸四边形ABCD中，AB ＝ CD，E、F分别是AD、BC的中点．延长BA、CD分别交FE的延长线于P、Q 求证：PA =QD.（同习题4.3第3题）
答案
5
4.4 三角形中与比例线段有关的几个定理-共角比例定理及应用--沈文选
