数值线性代数习题解答
习题1
１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T
我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：
注意到
我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程
便可求得
[注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：
算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）
２．设方程组。
[解] 因
，故为求解线性方程组
，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵
们很容易得到计算
，依照上题的思想我
为两个上三角矩阵，而且线性方程组
是非奇异的，试给出一种运算量为
的算法，求解该
的算法。于是对该问题我们有如下解题的步骤：
精品文档
（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：
）
算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为
（2）计算上三角矩阵（3）用回代法求解方程组：（4）用回代法求解方程组：算法总运算量大约为：３．证明：如果
是一个Gauss变换。
是一个Gauss变换，则
也
。运算量大约为.运算量为运算量为
； 。
.
[解] 按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵面我们只需证明它是Gauss变换
是Gauss变换。下
的逆矩阵。事实上
注意到
４．确定一个Gauss变换L，使
，则显然有
从而有
[解] 比较比较向量
和
可以发现Gauss变换L应具有
的第三
功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量行加上第一行的2倍。于是Gauss变换如下
精品文档
５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。 [证明] 设 ，其中都是上三角阵。因为A非奇异的，于是
都是单位下三角阵，
注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，
故此，它们都必是单位矩阵。即从而
即A的LU分解是唯一的。 ６．设
的定义如下
，
证明A有满足[证明] 令 阵。定义如下
的三角分解。
是单位下三角阵，
是上三角
容易验证：７．设A对称且下形式
，并假定经过一步Gauss消去之后，A具有如
证明
仍是对称阵。
精品文档
数值线性代数 北大版 答案全
