所以轨迹方程为y?x是一直线方程
??4?4t?4(1?t),y??3?3t?3(1?t)............(2)x得 ???x??4.?y??3......................(3)22??所以速度为v?x?y?16(1?t)2?9(1?t)2?5(1?t) 22??全加速度为a??x??y?16?9?5
34而切线加速度为a??dv??5，法线加速度an?a2?a?2?0 dt由此说明质点作匀减速直线运动。
（2） 由x=5cos5t2 , y=5sin5t2…….（1） 得轨迹方程为x2?y2?25是一圆的方程，其半径R=5 由（1）式得
???50tsin5t2,y??50tcos5t2.........(x2)
22??所以速度为v?x?y?2500t2(sin25t2?cos25t2)?50t..........(3)
切线加速度为a??dv?50 说明质点作匀加速圆周运动 dtv22500t2?500t2 法线加速度为an???522??全加速度为a??x??y?2500?250000t4?501?100t4
（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t…….（1）
x2y2得轨迹方程为??1为一椭圆方程
169???8sin2t,y??6cos2t.......(2)x由（1）式得
???x??16cos2t,?y??12sin2t......(3)所以速度为
22??v?x?y?64sin22t?36cos22t?216sin22t?9cos22t..........(3)
全加速度为
22??a??x??y?(?16cos2t)2?(?12sin2t)2?416cos22t?9sin22t.......(4)
如图6 -1 所示, 半径为R 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知轮心C 的速度是常量u , 求轮缘上一点M 的轨迹, 速度和加速度及轨迹的曲率半径.
图6-1
解 将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的
原点O , 并建立直角坐标系如图所示, 经过时间t, M 点的坐标为:
x = ut - Rsinφ y = R - Rcosφ
因轮纯滚动, 线段O D 与弧长D M 相等,
??DMut?RR整理后得运动方程为 x?ut?Rsinut Ruty?R?cosR从运动方程中消去时间t 后, 得轨迹方程为:
x?y?2R?y??RarccosR?y R.即M 点的轨迹为旋轮线(或摆线) , 速度在x , y 轴上的投影、大小
??u?ucosvx?x??usinvy?yutRutR2及方向余弦分别为v?vx2?vy?2usinut2R
vxut??sin?sinv2R2vyut?cos???cos?cosv2R2cos??M 点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为
u2ut???ax?v?x?sinxRRu2ut???ay?v?y?cosyRRu222 a?ax?ay?Rautcos???x?sin?sin?aRayut?cos???cos?cos?aR即各点加速度指向轮心
u2v2ut又a?a??a?,an?,而a??v,由此可求得: ??4Rsin
R?R22n证明题
证明：质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。
证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为
的弦上的运
动，则在任意位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方程得
质点加速度 a?gcos?，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运动方程为
s?1212at?gtcos? 22又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为
s?2rcos? 质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间 t?2s?a4rcos??gcos?4r，与?无关，故质量为m的质g量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕。
重为P的小球位于半径为r的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小球脱离球面的位置。
解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能
守恒。
设球面顶点处为零势能面
由机械能守恒定律有0??v2?P(r?rcos?) 故v2?2gr(1?cos?).............(1)
Pv2小球在法向方向运动微分方程为??Pcos??N
gr1P2g小球脱离球面时N=0，所以有v2?grcos?.................(2) （1）代入（2）式有grcos??2gr(1?cos?)
23r?h2又由几何关系知cos??? （h为自球面顶点起下降高度）得
r3rh? 3整理有cos??,??arccos?48011?
23讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球（质量）无关，当球面不光滑时与小球（质量）有关。
可得到运动轨道方程是r?acos?，此为圆的极坐标方程，所以质点的运动轨道为以a为半径的圆。
第二章质点系力学
一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上反冲，如炮身与在地面成一角度?，炮弹对炮身的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对地面的速度v及炮车反冲的速度U。
理论力学简明教程复习题题库--(物理专业用)
