x2y2z2代（7）入（6）得V?????c
222x2y2z2取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为V????
222???有一质点在xy平面上运动，质点受到的力为F?(x?y)i?(x?y)j，质
?点在平面上由点A（1,0）沿直线运动到点B（1,1）,求力F所作的功
解法1：由功的定义计算
W??BA??BBF?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx?(x?y)dy
AA又x?1,dx?0 所以
W??BA??BB1F?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx?(x?y)dy??(1?y)dyAA011?(y?y2)1?022
解法2：由功的定义计算
??B(1,0)(1,1)112(1,1),0)W??F?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx??(x?y)dy?(x2?xy)((1?(xy?y)(1,0)1,0)AA(1,0)(1,0)2211?1??22B或
??BB(1,1)11W??F?dr??(Fxdx?Fydy)??(x?y)dx?(x?y)dy??d(x2?xy?y2)AAA(1,0)22
1212(1,1)1111?(x?xy?y)(1,0)?(?1?)??222222B解法3：由保守力性质计算
???ijk??????Fz?Fy??F?????x?y?z??y?z?FxFyFz???(0?0)i?(0?0)j?(1?1)k?0????Fx?Fz????Fy?Fx????i???z??x?j????x??y??k ??????故力场F为保守力场
??VF???x?y.............(1)?x?x??V?F???x?y.............(2) ?y?y??F???V?0..............(3)z??z?x2积分（1）式得V???xy?f?y?????4?
2（4）式对y偏微分=（2）式得积分得f(y)??V?f?y???x???x?y ?y?y12y?c????5? 2x2y2代（5）入（4）得V????xy?c????6?
22x2y2取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为V????xy
22则由保守力与功的关系可知
11111111W??(V2?V1)?V1?V2?(?x2?y2?xy)(1,0)?(?x2?y2?xy)(1,1)???(???1)?22222222Fx?x?2y?z?5设作用于质点上的力场的力矢为Fy?2x?y?zFz?x?y?z?6
求此质点沿螺旋线x?cos?,y?sin?,z?7?运行，自??0至??2?时力场所作的功
解：由保守力性质计算
???ijk??????Fz?Fy??F??????x?y?z??y?zFxFyFz???(1?1)i?(1?1)j?(2?2)k?0????Fx?Fz??i???z??x??????Fy?Fx???j????x??y??k ????故力场F为保守力场
??VF???x?2y?z?5.............(1)?x?x??V?F???2x?y?z.............(2) ?y?y??F???V?x?y?z?6..............(3)z??z?x2积分（1）式得V???2xy?xz?5x?f?y,z?????4?
2（4）式对y偏微分=（2）式得
12?V?f?y???2x???2x?y?z ?y?y积分得f(y,z)??y2?zy?g(z)????5?
x2y2代（5）入（4）得V????2xy?xz?5x?yz?g(z)????6?
22（6）式对z偏微分=（3）式得
?V?g?z???x?y???x?y?z?6
?z?zz2 积分得g?z????6z?c????7?
2x2y212代（7）入（6）得V????z?2xy?xz?5x?yz?6z?c????6?
222取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为
x2y212V????z?2xy?xz?5x?yz?6z????6?
222又由x?cos?,y?sin?,z?7?知当??0时x?1,y?0,z?0；
??2?时x?1,y?0,z?14?
则由保守力与功的关系可知
W??(V2?V1)?V1?V2121212111x?y?z?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,0)?(?x2?y2?z2?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,14?)22222211111?(??5)????(14?)2?14??5?84?????5??98?2?14??5?84??98?2?70?22222?(?有一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c，
v3试证明在此情形下，加速度的量值可用下式表示a?
c?222????y?x?c2.................(1) 证明1：由v2?x （1）式求导得vdv??c,?????? （因yy?0，故??x??x?axx?a）
dt?av2?c2dvax..............(2) 由此得出??dtvv?v2??dv?2222?..............(3) 又a?????a?an?a?????dt????a2(v2?c2)v222?a?() （2）=（3）得
?v2v3整理得a? 结论得证
c?22证明2：
??c,??如图设v与y轴夹角为α，则由yy?0，故??有a?axi
由图示几何关系知an?acos??v2a?.............(1) ?cos?v2? 即
又vy?vcos??c 则有cos??...........(2)
v3（2）代入（1）得a? 结论得证
c?cv
33、船得一初速v0 ，在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为km，其中m为船的质量。问经历多长时间船速减为
?
其初速的一半。（15分）
解：由题意知 阻力为f?kmv2 则船的运动方程为mdv??kdt 2vv0tv0而t?0时v?v0 设船经历时间为t时，v? 积分上式得 ?v2v?2dv??k?0dt
02dv??kmv2 即 dt即???21?????kt ?v0v0?1 kv0从而得t?质点M在力X?Psin?t的作用下沿x轴作直线运动，在初瞬时
t?0,v?v0，x?x0。 求质点的运动方程。
?解：由mv?F?X?Psin?t 积分 m(v?v0)?x?mdv??Psin?tdtv00vt ，得
P?t??v?v0?(1?cos?t) 即 xP(1?cos?t) 积分 m? ?xdx??00??v0?0?PPP?(1?cos?t)?dt 得x?x0?(v0?)t?sin?t 2m?m?m??
已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长, 求出点沿轨迹的运动规律. (1) x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2 (2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2 (3) x=4cos2t, y=3sin2t
解（1）由x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2…….（1） 两式相除得?xy4?2t8?4t4(2?t)4??? 3?1.5t6?3t3(2?t)3
理论力学简明教程复习题题库--(物理专业用)
