（2）求数列??Sn?Tn??的前n项和. n??【答案】（1）an?2n?1；bn【解析】 【分析】
?2n?1（2）?n?1??2n?1?n?n?1??2 2(1)设数列?an?的公差为d,由a5?S3可得,a1?4d?3a1?3?2d,由a1?b1?1即可解得d?2,故2an?2n?1,由a4?b4?15,即可解得q=2,进而求得bn?2n?1.
2nn2?1??S?T(2) 由（1）得，nn??n?2n?n,利用分组求和及错位相减法即可求得结果. nn【详解】
（1）设数列?an?的公差为d，数列?bn?的公比为q， 由a5?S3可得，a1?4d?3a1?整理得2a1?d，即d?2， 故an?2n?1，
由a4?b4?15可得b4?8，则b1q3?8，即q=2， 故bn3?2d， 2?2n?1.
2n（2）由（1）得，Sn?n，Tn?2?1，
2nn2?1??S?T故nn??n?2n?n， nn所以，数列?1?Sn?Tn?12n?的前n项和为1?2?2?2?L?n?2??1?2?L?n?，
?n???设Pn?1?2?2?2?L??n?1??2223n?1?n?2n①，
n?1则2Pn?1?2?2?2?L??n?1??2?n?2n②，
②?①得Pn?n?2综上，数列?【点睛】
n?1??2?22?23?L?2n???n?1??2n?1?2，
n?n?1??Sn?Tn??2. ?的前n项和为?n?1??2n?1?2?n?本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.
18．已知函数f0?x??esin?bx?，设fn?x?为fn?1?x?的导数，n?N*．
ax（1）求f1?x?，f2?x?；
（2）猜想fn?x?的表达式，并证明你的结论．
22ax【答案】?1?f?x???a2?b2?2eaxsin?bx???,f2?x???a?b?esin?bx?2??；
11?2?fn?x???a【解析】 【分析】
2?bn22?eaxsin?bx?n??，证明见解析
?1?对函数f0?x?进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得f1?x?的表达式,对函数f1?x?再进行求导
并通过三角恒等变换进行转化求得f2?x?的表达式;
?2?根据?1?中f1?x?，f2?x?的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
（1）f1?x??f0?x??aesin?bx??becos?bx?
?axax??ab?a?be?sin?bx??cos?bx???a2?b2eaxsin?bx???
22a2?b2?a?b?22ax，其中sin??ba?b22，cos??aa?b22
axaxf2?x??f1??x??a2?b2?aesinbx???becos?bx????????
?a2?b2eax??asin?bx????bcos?bx?????[ ?a2?b2eaxsin?bx?2??，其中sin??（2）猜想f?x??a?bn2??ba?b22，cos??aa?b22
?n22?*eaxsin?bx?n??，n?N
下面用数学归纳法证明： ①当n?1时，f?x??a?b12?122?sin?bx???成立，
②假设n?k时，猜想成立 即f?x??a?bk2?k22?eaxsin?bx?k??
当n?k?1时，fk?1?x??fk??x?
?a?b?2k22?axax ?aesinbx?k??becos?bx?k????????a?b?22?k?12??abeax?sin?bx?k???cos?bx?k???
22a2?b2?a?b??a?b?22?k?12eaxsin?bx?k?k?1???
n22?当n?k?1时，猜想成立
由①②f?x??a?bn2??*eaxsin?bx?n??对n?N成立
【点睛】
本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题. 19．设函数f(x)?sin(为2?.
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若点?心，且b?5，求?ABC面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）【解析】 【分析】
(Ⅰ)函数f(x)?sin(?x??x?)?2cos2?1(??0)，直线y?3与函数f(x)图象相邻两交点的距离366?B?,0?是函数y?f(x)图象的一个对称中?2?253. 12?x??x?)?2cos2?1，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得； 366??B?)，根据点?,0?是函数y?f(x)图象的一个对称中心，代入可得3?2?(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数f(x)?3sin(x?B，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.
【详解】 (Ⅰ)Qf(x)?sin(?x??x?)?2cos2?1 366
?sin?x3cos?6?cos?x3sin?61?cos?2?2?x3?1
??x?3?x3?x?3sin(?) sin?cos332323?f(x)的最大值为3,?f(x)最小正周期为2?
???3
(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知f(x)?3sin(x??3)，Q3sin(B?2??)?0?B? 233a2?c2?b2a2?c2?251QcosB????,
2ac2ac2??ac?a2?c2?25?2ac?25,ac?故S?ABC?25 313253 acsinB?ac?2412253. 12故?ABC的面积的最大值为【点睛】
本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.
x2y220．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：?x?3??y?1，椭圆E：2?2?1（a?b?0）
ab22的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN?l的方程.
12AM时，求直线7x2y2【答案】（1）??1（2）x?y?2?0或x?y?2?0.
43【解析】 【分析】
（1）圆C的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设N?xN,yN?，M?xM,yM?，显然直线l的斜率存在，方法一：设直线l的方程为：y?k?x?2?，将直线方程和椭圆方程联立，消去y，可
12AM可解得k，即得；方法二：设直线l712AM的方程为：x?ty?2(t?0)，与椭圆方程联立，可得yN，将其与圆方程联立，可得yM，由AN?7得xN，同理直线方程和圆方程联立，可得xM，再由AN?可解得k，即得. 【详解】
22a.Q右顶点A?a,0?在圆C上，（1）记椭圆E的焦距为2c（c?0）右准线x?与圆C：?x?3??y2?1c??a?3?2?02?1,??a?22?相切.?a解得?，
c?1???3?1,c?x2y2?1. ?b?a?c?3，椭圆方程为：?43222（2）法1：设N?xN,yN?，M?xM,yM?，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y?k?x?2?.
?y?k?x?2?,?直线方程和椭圆方程联立，由方程组?x2y2消去y得，整理得
?1??43??4k2?3x2?16k2x?16k2?12?0.
?16k2?128k2?6. 由xN?2?，解得xN?224k?34k?3??y?k?x?2?,2222k?1x?4k?6x?4k?8?0 y直线方程和圆方程联立，由方程组?消去得，????22???x?3??y?1,4k2?82k2?4. 由xM?2?2，解得xM?2k?1k?11212AM，则有2?xN??xM?2?. 7712122??即2，解得k??1，
4k?371?k2又AN?故直线l的方程为x?y?2?0或x?y?2?0.
分法2：设N?xN,yN?，M?xM,yM?，当直线l与x轴重合时，不符题意.
?x?ty?2? 设直线l的方程为：x?ty?2(t?0).由方程组?x2y2??1?3?4消去x得，3t?4x?12ty?0，解得yN??2?2?12t. 23t?4??x?ty?222由方程组?消去x得，?t?1?x?2ty?0， 22???x?3??y?12t. 解得yM?2t?11212AM，则有yN??yM. 又AN?77
江苏省淮安市2021届新高考第一次大联考数学试卷含解析
