2020北京大学年强基计划数学试题
1、正实数x,y,z,w满足x≥y≥w，且x+y≤2(w+z)，求 + 的最小值.
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????
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解：?? + ?? ≥ ?? + ≥ + – y?
2
2??1
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????????+???2??2??12
= 2 + ?? + 2?? - ?? ≥ 2 + 2?? – w????? ??
???????
2??
1??????1???????
?????
= + –
1
= - + + ≥ √2 -
2
2??
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2
1????1
等号在x=√2y，y=w，z=2(x+y-2w)时成立.
2、若f(x)=x+px+q有有理根，且正整数q,q不大于100，则满足条件的(p,q)共有几组. 解：设有理根x=?? ,(m,n)=1，不妨设n<0.
则m+pmn+qn=0，于是n| m+pmn+qn ? n|m ? n= -1，于是m+pm-q=0. 555
q=m+pm >0，则 m>0，由于m≤q = m + pm ≤ 100 ? 1 ≤ m ≤ 2, 若 m=1,q=1+p ∈[1,100]，则 p ∈[1,99],共99组； 若 m=2,q=32+2p ∈[1,100]，则 p∈[1,34],共34组. 综上所述，共133组.
3、已椭圆2 +y =1，圆x + y=4，从圆上一点作椭圆的切点弦，求切点弦所围成的面积. 解：如图，设圆上一点（2cost,2sint），对应切点弦方程即为极线方程：xcost+2ysint=1， 由于椭圆 2 + 2 =1在(accost,bsint)处的切线方程为
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??
??2
??2
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12
??2
2
2
2
5
4
5
5
4
5
5
5
5
??
+ =1，则a=1,b=，围成
椭圆x + 4y =1，面积为2.
22
??
4、求19x+93y=4xy的整数解的组数.
解：19x+93y=4xy ? (4x-93)(4y-19)=1767=3×19×31，4x-93≡3(mod 4)，4y-19≡1(mod 4)，则
4???93=3,19,31,1767,?1,?57,?93,?589{ 4???19= ?
共有8组.
5.已知x,y,z>0，判断s=??+?? + ??+?? + ??+?? 是否存在最大值与最小值.
解：s=??+?? + ??+?? + ??+?? > ??+??+?? + ??+??+?? + ??+??+?? =1，当x→0,y=1,z→+∞时可趋近1，
??
??
??
??
??
??
??
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同时，s=??+?? + ??+?? + ??+?? = 3 - ??+?? - ??+?? - ??+?? < 3 -
????+??+??
????????????
-
??
??+??+??
- ??
??
??+??+??
??
=2，当x→0,y→+∞,z=1时可趋近2 不存在最大值与最小值.
2
n-1
*
综上所述，s=
??
??+??
+
??+??
+
??+??
6、已知数列{an}满足：a1=1，a2=4,且an - an-1an+1=2(n≥2,n∈N)，求a2020的个位数. 解：由于2an - 2an-1an+1 = 2 = an+1 - anan+2 ，则
2
n
2
2????+????+2
????+1
=
2?????1+????+1
????
=
2??1+??3
??2
= 4,
于是 an+1 = 4an-2an-1，an mod10依次为：
1，4，4，8，4，0，2，8，8，6，8，0，4，6，6，2，6，0，8，2，2，4，2，0，6，4，4，8，4，0，…
故an≡an+24 (mod10)，则a2020≡a4≡8(mod10).
2020北京大学年强基计划数学试题
