第11课时直线与圆锥曲线的位置关系习题和答案详解

x2y2

1．若过原点的直线l与双曲线－＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是( )

43A．(－C．[－

33

，] 2233，] 22

B．(－

33

，) 22

33

]∪[，＋∞) 22

D．(－∞，－答案 B

x2y233

解析 ∵－＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－，k2＝，要使过原点的直线l

4322与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是[0，2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1，1)为中点的弦的长度为( ) A．32 C.30 3

B．23 3D.6 2

33

)∪(－，0]． 22

答案 C

解析 设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k. 代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4. ∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0. 4k（k－1）11

由x1＋x2＝＝2，得k＝－，xx＝. 12

232k2＋148

∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝.

33∴|AB|＝

126301＋·＝. 433

x22

3．(2019·辽宁师大附中期中)过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y＝1交于P1，P2两点，

2线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( ) A．2 1C. 2答案 D

x12

＋y12＝1，2

解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则

x22

＋y22＝1.2

B．－2 1D．－

2

???

（x1＋x2）（x1－x2）

两式相减，得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.

22x·（x1－x2）即＋2y(y1－y2)＝0.

2

xy

∴k1＝－，又∵k2＝.

2yx1

∴k1·k2＝－.

2

11

4．(2019·衡水中学调研)过抛物线x2＝4y的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则＋|AB||CD|＝( ) A．2 1C. 2答案 D

解析 根据题意，抛物线的焦点为(0，1)，设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，直线CD

?y＝kx＋1，?1

的方程为y＝－x＋1，由?2得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，由根与系数的关系得yA＋yB

k?x＝4y，?

B．4 1

D. 4

411

＝2＋4k2，所以|AB|＝yA＋yB＋2＝4＋4k2，同理|CD|＝yC＋yD＋2＝4＋2，所以＋＝

k|AB||CD|1k21

＋2＝，故选D. 2

4k＋44k＋44

x2y2

5．(2019·福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，

ab11

抛物线y＝x2＋与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )

44x2y2

A.－＝1 82C．x2－

y2

＝1 4

x2y2

B.－＝1 28x22

D.－y＝1 4

答案 D

b

解析 由题意可得c＝5，即a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程和抛

a12112b1b21

物线方程y＝x＋联立，可得x±x＋＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝2－4××444a4a41x222222＝0，即有a＝4b，又a＋b＝5，解得a＝2，b＝1，可得双曲线的方程为－y＝1.故选

44D.

6．(2019·潍坊考试)已知抛物线y2＝4x与直线2x－y－3＝0相交于A，B两点，O为坐标原11

点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则＋的值为( )

k1k21A．－

41C. 4

1B．－

21D. 2

答案 D

y12y224411y1＋y2

解析 设A(，y1)，B(，y2)，易知y1y2≠0，则k1＝，k2＝，所以＋＝，

44y1y2k1k24y＋3111

将x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝.

2k1k22

x2y2

7．(2019·石家庄质量检测一)双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1

ab作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是( ) A.3 C．2 答案 B

解析 由题意可知A是F1B的中点，O是F1F2的中点(O为坐标原点)，连接BF2，则OA是△F1BF2的中位线．故OA∥BF2，故F1F2⊥BF2，又∠BF1F2＝60°，|F1F2|＝2c，∴|BF1|＝4c，c

|BF2|＝23c，∴2a＝4c－23c，∴e＝＝2＋3，故选B.

a

x2y2

8．(2019·沧州七校联考)已知直线l1：y＝kx＋2(k>0)与椭圆C：＋＝1相切，且切点为M，

43F是椭圆C的左焦点，直线l2过点M且垂直于直线l1，交椭圆于另一点N，则△MNF的面积是( ) 15A. 1915C. 38答案 D

y＝kx＋2，??

解析 由?x2y2可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，

??4＋3＝1，

因为直线l1与椭圆C相切于点M，所以Δ＝(16k)2－4(3＋4k2)×4＝48(4k2－1)＝0， 1331

又k>0，所以k＝，M(－1，)，故l2：y＝－2(x＋1)＋＝－2x－，

2222代入椭圆方程得19x2＋8x－11＝0，

11363

解得x1＝－1，x2＝，则y1＝，y2＝－，

192381

设l2与x轴的交点为A，则A(－，0)，

4

11363345

又F(－1，0)，所以△MNF的面积S＝|AF|·|y2－y1|＝××|－－|＝.故选D.

22438238x2y2

9．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c，0)关于直线bx＋cy＝0的对称点P在椭圆上，

ab

45B. 1945D. 38B．2＋3 D.2＋1

则椭圆的离心率是( ) A.C.2 43 3

B.D.3 42 2

答案 D

解析 设焦点F(－c，0)关于直线bx＋cy＝0的对称点为P(m，n)， nb

nc·（－）＝－1，?cm＋c?m＋c＝b，

则所以?

m－cn??bm－bc＋nc＝0，b·＋c·＝0，22

???

b2c－c3（a2－2c2）cc2b＋bc22bc2

2所以m＝22＝＝(1－2e)c，n＝22＝2＝2be2. 2aab＋cb＋c

（1－2e2）2c24b2e4

因为点P(m，n)在椭圆上，所以＋2＝1，即(1－2e2)2e2＋4e4＝1，即4e6＋e2

a2b－1＝0，将各选项代入知e＝

2

符合，故选D. 2

1

10．(2019·福州质检)已知圆C：(x－5)2＋(y－)2＝8，抛物线E：x2＝2py(p>0)上两点A(－2，

2y1)与B(4，y2)，若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为( ) 1A．x＝－

21

C．y＝－

2答案 C

82－pp281

解析 由题意知，A(－2，)，B(4，)，∴kAB＝＝，设抛物线E上的切点为(x0，

pp4－（－2）py0)，

x2xx011

由y＝，得y′＝，∴＝，∴x0＝1，∴切点为(1，)，

2pppp2p∴切线方程为y－11

＝(x－1)，即2x－2py－1＝0， 2pp

B．y＝－1 D．x＝－1

|9－p|1

∵切线2x－2py－1＝0与圆C相切，∴圆心C(5，)到切线的距离为22，即＝22，

24＋4p2∴31p2＋18p－49＝0，∴(p－1)(31p＋49)＝0，∵p>0，∴p＝1. 1

∴抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－，故选C.

2

11．(2019·广东七校联考)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝________．

3答案

2解析 ∵p＝2，

112113＋＝，∴＋＝1，∴|BF|＝. |AF||BF|p3|BF|2

12．(2019·武汉市武昌高三调考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，→→→

Q两点，与准线交于点M，且FM＝3FP，则|FP|＝________． 4答案

3

→→

解析 过点P作PP1垂直准线于P1，由FM＝3FP，得|PM|＝2|PF|. 又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，所以|PM|＝2|PP1|.

|PP1||PP1||MP|24→4

由三角形相似，得＝＝＝，所以|PP1|＝，所以|FP|＝.

p2|MF|333

13．(2019·天星联考二)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过A作直线l与抛物线交于M，N两点，则|FM|2＋|FN|2的取值范围为________． 答案 (8，＋∞)

解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，其准线x＝－1与x轴交于A(－1，0)，显然直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝k(x＋1)，k≠0，与y2＝4x联立并化简整理得x2＋(24414

－2)x＋1＝0，Δ＝(2－2)2－4>0，即2>1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2－2，kkkkx1x2＝1.

方法一：由抛物线的定义知，|FM|＝x1＋1，|FN|＝x2＋1，则|FM|2＋|FN|2＝(x1＋1)2＋(x2＋1)2444

＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(2－2)2＋2(2－2)＝(2－1)2－1>8，即|FM|2＋|FN|2的取

kkk值范围为(8，＋∞)．

方法二：由两点间的距离公式，知|FM|2＋|FN|2＝(x1－1)2＋y12＋(x2－1)2＋y22＝(x1－1)2＋4x1444

＋(x2－1)2＋4x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝(2－2)2＋2(2－2)＝(2－1)2－1>8，即

kkk|FM|2＋|FN|2的取值范围为(8，＋∞)．

14．(2019·河南洛阳第一次统考)已知抛物线C：x2＝2py(y>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．

(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线C的方程；

(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N，证明：直线AN与抛物线相切． 答案 (1)x2＝2y (2)略

解析 (1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1. ∴抛物线C的方程为x2＝2y.