第6讲 离散型随机变量及其分布列
1．离散型随机变量 (1)随机变量
特点：随着试验结果的变化而变化的变量． 表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以一一列举出来． 2．离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性质：
n①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②∑pi＝1. i＝13．常见的两类特殊分布列 (1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X P 0 1－p 1 p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝
n－kCkMCN－M，k＝0，1，2，…，m，即： CnNX P 0 CMCN－Mn CN0n－01 CMCN－Mn CN1n－1… … *m CMCN－Mn CNmn－m其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
1
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )
(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )
(6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．( )
X P 2 0.3 5 0.7 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (教材习题改编)设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是( )
X P 1 1 22 1 43 1 81B. 21D. 8
4 p4 A.1 1C. 4
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解析：选D.由分布列的性质，得＋＋＋p4＝1，所以p4＝.
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设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 1
C. 3
解析：选C.设X的分布列为
1B. 22D. 3
X P 0 1 2p p 1即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.
315?? 15?22? 2 k________． 121?15?解析：P? 答案： 5 在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________． 解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝C3·C7 k)＝，k＝0，1，2，3. 4 C10 C3·C7 答案：P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3 4 C10 离散型随机变量的分布列的性质 [典例引领] 设离散型随机变量X的分布列为 k4－kk4－kX P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求：(1)2X＋1的分布列； (2)P(1＜X≤4)． 【解】 由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得m＝0.3. (1)2X＋1的分布列： 2X＋1 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 P (2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7. 在本例条件下，求|X－1|的分布列． 解：|X－1|的分布列： |X－1| 0 0.1 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值 3 1 0.3 2 0.3 3 0.3 P 均为非负值； (2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列． 设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值 为( ) A．3 C．10 B．4 D．不确定 3 解析：选C.“X＜4”的含义为X＝1，2，3，所以P(X＜4)＝＝0.3，所以n＝10. n离散型随机变量的分布列 (高频考点) 离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度： (1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列； (3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容) [典例引领] 角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的 分布列 某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列． 【解】 (1)P(当天商店不进货) 153 ＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝. 202010(2)由题意知，X的可能取值为2，3. P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝； 51204 4 P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量 1953 为3件)＝＋＋＝. 2020204 所以X的分布列为 X P 2 1 43 3 4 角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列 (2017·高考山东卷节选)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同 心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2， B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 【解】 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， C85 则P(M)＝5＝. C1018 (2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则 C61 P(X＝0)＝5＝， C1042C6C45 P(X＝1)＝5＝， C1021C6C410 P(X＝2)＝5＝， C1021C6C45 P(X＝3)＝5＝， C1021C6C41 P(X＝4)＝5＝. C1042因此X的分布列为 1423324154 X P 0 1 42 离散型随机变量分布列的求解步骤 1 5 212 10 213 5 214 1 42 5
通用版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布6第6讲离散型随机变量及其分布列教案理
