高2013级高考适应性测试（A卷）
数 学（文史类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A?{x|y?x?3}，B=?0，???，则AB?
(A) ?0，??? (B) ?3，??? (C) ?0，??? (D) ?3，??? 2．i为虚数单位，求 (A)
2?3i
3?2i? i (C)
3?2i
(B) ?2?3i (D) ?2?3i
3． 命题p：?x0?1，使得?x02?2x0?1?0，则?p为 (A) (C)
使得?x2?2x?1?0 ?x?1，使得?x2?2x?1?0 ?x?1， (B) (D)
?x0?1，使得?x02?2x0?1?0
使得?x2?2x?1?0 ?x?1，4． 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D)
14
??1??5． 已知cos????，则1?cos2?的值为
?2?3 (A) 1 (B)
96．已知函数
2 (C) 4 (D) 8
999?2x x?0，若f?a??f?1??0，则实数a的值等于 f?x????x?1 x?0 (A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3
x2y27．已知抛物线y?2px(p?0)与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的交点为A,B，
ab2且直线AB过两曲线的公共焦点F，则双曲线的离心率为
(A)2(D)22?2
(B)2?1 (C)22
8．已知函数f?x??x2?lnxx，则函数y?f(x)的大致图像为
(A) (B) (C)
(D)
?2x?y?4?09．设不等式组??x?y?0
?y?0?表示的平面区域为D，点A(2,0)，点B(1,0)，
2|MB|的概率是
在区域D内随机取一点M，则点M满足|MA|? (A)
5?16
(D)? 410．已知抛物线y2?4x的焦点为F，点M为直线x??2上的一动点，过点M向抛物线y2?4x的作切线，切点为B，C，以点F为圆心的圆与直线BC相切，则该圆面积的取值范围为 (A) (D) (0，4?]
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米
(B)
3?16 (C)
3?8
(0，?) (B)
(0，?] (C) (0，4?)
黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共
25分. 11．计算：lg20?lg2?(1log32)?3 ▲ ．
12．某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的 体积是 ▲ ．
13．某家庭用分期付款的方式购买一辆汽车，价格为15万元，购买当天
先付5万元，以后每月这一天都交付1万元，并加付欠款的利息，月利率
为1%．若交付5万元以后的第一个月开始算分期付款的第一期，共10期
付完，则全部货款付清后，买这辆汽车实际用的钱为 ▲ 万元．
14．如图：在矩形ABCD错误！未找到引用源。中，
AB?2,AD?1
，错误！未找到引用源。E是AB错
误！未找到引用源。的中点，点P在以错误！未找到引用源。为圆心，错误！未找到引用源。为半径的圆弧DE错误！未找到引用源。上变动，若AP??DE??EC错误！未找到引用源。 ，其中
?,??R
错误！未找到引用源。，则??2?错误！未找到引用源。
的最大值是 ▲ ．
15．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个； ②正弦函数y?sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”； ③函数f(x)?ln(x④函数y?2?x2?1) 可以是某个圆的“优美函数”；
f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y?f(x)的图像是中
心对称图形．
其中正确的命题是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号） 三．解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内．
16．(本小题满分12分)
已知函数f?x??Asin??x??? (A?0,??0,|?|?? ) 的部分图
2象如图所示：
(I) 求函数f?x?的解析式；
(II) 在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若f?A??1，a?
3，b?1，求?ABC的面积S．
17．(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发10个红包，每个红包金额在?1,5?产生．已知在每轮游戏中所产生的10个红包金额的频率分布直方图如图所示． (I) 求a的值，并根据频率分布直方图，估计
10个红包金额的中位数；
(II) 以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲抢到来自?2,4?中3个红包，求其中一个红包来自?2,3?，另2个红包来自?3,4?的概率.
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB＝AC=PB＝2，
O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．
(I) 证明：PB∥平面ACM； (II) 求三棱锥P－MAC的体积．
19．(本小题满分12分)
已知数列{an}的首项a1＝5，且an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(I) 证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； (II) 求数列{nan}的前n项和Sn．
20．(本小题满分13分)
x2y2已知椭圆C：?2?1(2?b?0)的上、下顶点分别为A、B，过点B的直
4b线与椭圆交于另一点D， 与直线y??2交于点M．
(I) 当b?1且点D为椭圆的右顶点时，求三角形
AMD的面积S的值；
(II) 若直线AM、AD的斜率之积为?3，求椭圆
4C的方程．
21．(本题满分14分)
设函数f?x??xlnx，g?x???1a(x2?x?2)其中a?R．
x?12(I) 求函数f(x)的单调区间；
(II) 若对任意x?1,都有f?x??g(x?1)恒成立，求a的取值范围.
高2013级高考适应性测试（A卷）
数学（文史类）参考答案
一.选择题:每题有四个选项,只有一个是正确的.每题5分,共50分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7 B 8 9 10 B A B 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.1； 12.2233； 13. 15.55； 14.
102； 15. ①②.
三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.不能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内. 16.
解
：
(I)
由
图
像
可
知
A?2,
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分
T5??2?????,?T??,即?==2 41264? ﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 又
???????函数图像过?,2? ?2?????2k?(k?Z),且|?|??k?0，??6226?6?
????f?x??2sin?2x??6??﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分 (II)
????1??f?A??2sin?2A???1,?sin?2A???
6?6?2??0?A??,??6?2A??6?13??5??,即2A??,?A?6663 ﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍8分
在?ABC中，由正弦定理
ba13?,即?sinBsinAsinBsin?3
1??sinB?,又b?a，B=，?C???A?B?262 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍11分
13?S?ABC??1?3?22
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分
17.解：(1)由题可得:(0.1?0.2?0.3?a)?1?1,?a?0.4，设中位数为x，则有
0.1?0.2?0.3(x?3)?0.5,?x?11，即中位数为11. 33 ﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
(2) 由频率分布直方图可得，金额在?2,3?的红包个数为10?0.2?2个，设为A1,A2,金额在?3,4?的红包个数为10?0.3?3个.设为B1,B2,B3.则从金额在?2,4?的红包内抢到3个的情况有：
(A1,A2,B1),(A1,A2,B2),(A1,A2,B3),(A1,B1,B2,),(A2,B1,B2),(A1,B2,B3),(A2,B2,B3),(A1,B1,B3),(A2,B1,B3),(B1,B2,B3)，共
10种. .﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍8分
其中1个红包来自?2,3?，另2个红包来自?3,4?的情况有：
(A1,B1,B2,),(A2,B1,B2),(A1,B2,B3),(A2,B2,B3),(A1,B1,B3),(A2,B1,B3)，共?其中一个红包来自?2,3?，另
6种.
2个红包来自?3,4?的概率P?63?﹍﹍105﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分
18.解: 证明：(I)如图连结MO
在?PDB中，MO//1PB﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4
2分
MO?平面AMC PB?平面AMC
?PB∥平面
ACM. ﹍﹍﹍﹍﹍
﹍﹍﹍6分
(II) 如图连结MO 在Rt?POB中,
PB?2,OB?3?PO?1﹍﹍﹍﹍8
分
1VP?MAC?VP?DAC?VM?DAC?VP?DAC?VP?DAC
21113????2?3?1?2326 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分
19.解：(I)证明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，且a1?1?6?0∴an?1?1＝2， ﹍﹍
an?1﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
∴数列{an＋1}是以6为首项，2为公比的等比数列， ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
－－
∴an＋1＝(a1＋1)·2n1＝6·2n1＝3·2n， ∴an＝3·2n－1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
(II)∵nan=n(3·2n－1)
＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)， 令Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n?1， ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n?1
2(1?2n)＝－n·2n?1＝－(n－1)·2n?1－2，
1?2
∴Tn＝(n－1)·＋2， 2n?1﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
n(n?1)?Sn＝3(n－1)·＋6. ﹍﹍﹍﹍﹍2n?1－
2﹍﹍﹍﹍12分
20.解: (I)当b?1且点D为椭圆的右顶点时，A(0,1),B(0,?1),D(2,0) ∴直线
MD的方程为
y?1x?12，可得M(?2,?2)
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∴S?SVABD?SVABM11??2?2??2?2?4. 22 ﹍﹍
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分
(Ⅱ)A(0,b),B(0,?b)，设直线MD的方程为y?kx?b(k?0) ，则：
?x2y28kb4k2b?b3??2?1联立?4b解得D(22,22)， ﹍﹍
4k?b4k?b?y?kx?b?﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
?y??2联立?解得 M(b?2,?2) ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
k?y?kx?b﹍11分 ∴kAM?kADb2(2?b)3???? 4(2?b)4∴b3?2b2?3b?6?(b?1)(b2?3b?6)?0,易得b?1 ∴椭圆C的方程为﹍﹍13分
x2?y2?1 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4
?xlnxx?lnx?121. 解：(I)f??x??(lnx?1)(x?1)?(x?0且x?1) 22(x?1)(x?1)
令错误！未找到引用源。,
u??x??1?1x?1 ?xx??)上单增，?u?x??u(1)?0 ?u?x?在(0，1)上单减，在(1，??)上单增，?f?x?在(0，1)错误！未找到引用源。上单增，也在(1，无单调减区间. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
（Ⅱ）因为?x?0,f?x??g(x?1)成立，即??x??lnx?1a(x?1((x?3)?0对x?02恒成立，
1a(x?1)2?1?a???x???a(x?2)? (x?1)
xx ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
﹍6分
（1）当0?a?1时，则??x?在(1,??)上单调递增，??(x)?0，??(x)??(1)?0，满足题意.﹍﹍﹍8分
（2）当a?1时，令??(x)?0，则1?x?1??x?(1,1?单调递减，
a?1，???x?在(1,1?a?1)上aaa?1)时，不满足题意. ??(x)??(1)?0，a .
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
（3）当a?0时，令??(x)?0，则1?x?1?单调递增，在(1?a?1a?1)上，???x?在(1,1?aaa?1,??)上单调递减， .﹍﹍a﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍11分
容易证明：lnx?x?1 (x?1)，取x0?3?2?(1?a1212a?1,??)时， a??x0??lnx0?a(x0?1)(x0?3)?x0?1?a(x0?1)(x0?3)
???x0??(x0?1)[1?1a?2a(x0?3)]?(x0?1)(1??)?0，不满足题意。 22a综上所述：a的取值范围[0,1] .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍14分
说明：??x0??lnx0?1a(x0?1)(x0?3)?x0?1?1a(x0?1)(x0?3)
221在x???时，x0?1?a(x0?1)(x0?3)???，不合题意，学生这样做也可给
2满分。
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