第六章 不等式
§6.1不等式的性质与基本不等式
知识梳理
1、比较原理
两实数a,b之间有且只有以下三个大小关系之一： 、 、 。 其中a?b?a?b?0；a?b? ；a?b? 。（比较大小常用方法： ）
2、不等式的性质
（1）对称性：a?b? 。
（2）传递性：a?b,b?c? 。 （3）不等式加等量：a?b?a?c b?c。 （4）不等式乘正量：a?b,c?0? 。 不等式乘负量：a?b,c?0? 。
（5）同向不等式相加：a?b,c?d? 。 （6）异向不等式相减：a?b,c?d? 。 （7）同向不等式相乘：a?b?0,c?d?0? 。 （8）异向不等式相除：a?b?0,0?c?d? 。 （9）不等式取倒数：a?b,ab?0?11 ab（10）不等式的乘方：a?b?0? 。
（11）不等式的开方：a?b?0? 。
（12）真分数性质：a?b?0,m?0?3、重要不等式和基本不等式
bb?m ___aa?m（1）如果a?0,b?0，那么 叫做这两个正数的算术平均数。 （2）如果a?0,b?0，那么 叫做这两个正数的几何平均数。
（3）基本不等式：a?0,b?0，则 ，当且仅当a?b时取等号，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注：①用基本不等式求最值时注意三个条件：“ ”
②基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的 不小于 ,如图所示. （4）常见变形：① （a?R,b?R取等条件： ）
② （a?R,b?R取等条件： ） ③ （a?R,b?R取等条件： ）
（5）求最小值：a?0,b?0，当ab为定值时，a?b,a?b有最 值，
即a?b? ，a?b? 。 （6）、求最大值：a?0,b?0，当a?b为定值时，ab有最 值，即ab? ， 或a?b为定值时，ab有最 值，即ab? 。
222222基础自测
1、“a?c?b?d”是“a?b,c?d”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、设a,b,c?R，a?b，则下列不等式中正确的是（ ）
ab11 D、ac?bc ?? B、a2?b2 C、
ab1?c21?c21lnx?1lnx3.若x?(e,1),a?lnx,b?(),c?e，则?( )
2A、
(A)c>b>a. (B)b>a>c (C)a>b>c. (D)b>c>a.
4、已知f(x)?log2(x?2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值是 .
题型一、比较大小
22
1、已知实数x满足x+x<0,则x,x,-x的大小关系是 ( )
2222
(A)-x 2?，则（ ） 5A、a?b?c B、b?a?c C、c?a?b D、b?c?a 题型二、不等式的性质 3、若a?20.5,b?ln2,c?log2sin1、下列不等关系成立的是?( ) 1122 (A)若ac>bc,则a>b. (B)若a>b,则?. a b 2 (C)若a>b,c>d,则a-c>b-d. (D)若a>b>0,a>c,则a 2、如果a,b,c满足c?b?a,ac?0，那么下列不等式不正确的是（ ） A、ab?ac B、c(b?a)?0 C、cb?ab D、ac(c?a)?0 3、设a,b?(??,0)，则“a?b”是“a?2211?b?”的（ ） abA、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、如果0?m?b?a，则（ ） b?mbb?mbb?mb?m B、cos?cos ?cos?cos?cosa?maa?maa?ma?mb?mbb?mb?mb?mbC、cos D、cos?cos?cos?cos?cos a?maa?ma?ma?maA、cos5、若函数f(x)?ax?bx，且1?f(?1)?2,2?f(1)?4，则f(-2)的取值范围是 。 2 题型三、基本不等式及应用 1、命题:①任意x>0, lgx?11x≥2;②任意x∈R, a?x≥2(a>0且a≠1); lgxa③任意x?(0,?2),tanx?11≥2;④任意x∈R, sinx?≥2.其中真命题有 ( ) tanxsinx(A)③. (B)③④. (C)②③. (D)①②③④. 2、设a,b?R，且a?b?3，则2a?2b的最小值是 。 3、点(m,n)在直线x?y?1位于第一象限内的图像上运动，则log2m?log2n的 最大值为 。 ab4、a,b已知为正实数，若3是3与3的等比中项，则y?11?的最小值为 。 ab5、若x,y是正实数，且 19??1，则x?y?m恒成立的实数m的取值范围为 。 xy6、已知不等式(x?y)(1a?)?9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为 。 xy?3x?y?6?0?7、设x,y满足约束条件?x?y?2?0，若目标函数z?ax?by(a?0,b?0)的最大值 ?x?0,y?0?为12，则 23?的最小值为 。 ab228、若直线ax?by?2?0(a?0,b?0)被圆x?y?2x?4y?1?0截得的弦长为4，则的最小值为 。 11? abt2?4t?19、已知t?0，则函数y?的最小值为 。 t10、若对任意的x?0， 11、求函数y? x?a恒成立，则a的取值范围是 。 2x?3x?1(x?5)(x?2)(x??1)的值域 x?1题型四、需要构造才能用基本不等式求最值 21、设x?1，则y?x?的最小值为 。 x?1y2?1，则x?1?y2的最大值为 。 2、设x?0，且x?223、设a?b?0，则a?211?的最小值是 。 aba(a?b)1|a|取得最小值. ?2|a|b4、设a?b?2, b?0, 则当a = ______时, 5、设0?m?112,,若??k恒成立,则k的最大值为__________. 2m1?2mxy226、设正实数x,y,z满足x?3xy?4y?z?0,则当取得最大值时, z212??的最大值为（ ） xyzA．0 B．1 C． 9 4D．3 7、如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60m,问a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A，B孔面积忽略不计） 2 题型五、绝对值不等式的简单应用 1、不等式x?5?x?3?10的解集为 。 2、若关于x的不等式a?x?1?x?2存在实数解，则实数a的取值范围是 。
高三一轮复习《不等式的性质与基本不等式》
