陕西省西安电子科技大学附属中学2019-2020学年高二上学
期期中考试数学试题（理科）
一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1、已知数列1，3，5，7，…，2n－1，若35是这个数列的第n项，则n＝( )
A．20 B．21 C．22 2、“??k?? D．23
51?,k?Z”是“sin2??”的 122A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3、下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是( ) A.a?b?1B.a?b?1C.a2?b2 D.a?b334、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是( )
A．(8，10) B．(8，10) C．(8，10)
D．(10，8)
5、中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )
50
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝ 750
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
7150
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
27150
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
276、在△ABC中，3sin?????A??3sin(??A),cosA??3cos(??B)则△ABC为( ) ?2? D．等边三角形
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形
?2n?1?7、已知Tn为数列?n?的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为( )
?2?A．1 026 B．1 025 C．1 024 D．1 023
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?1?8、已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则8x???的取值范围是 ?2?8?2,2A．???
7?2,2B．?,2? C．??? 2y?1?8?? D．?,2?
2?1?7??9、某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为( )
A.2sin??2cos??2B.sin??3cos??3C.3sin??3cos??1D.2sin??cos??1A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题 B．命题“x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题 D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
10、下列命题中为真命题的是( )
11、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( )
A．2＋3 B．2＋2 C．3 12、若函数f(x)? D．3＋2
a?ax(a?0)在(1，＋∞)上的最小值为15，函数g(x)?x?a?x?1,x?1则函数g(x)的最小值为（ ）
A．2 B．6 C．4
D．1
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13、若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．
1
14、设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
n?n＋1?
15、已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为_______．
16、设x、y满足约束条件?
- 2 -
?x?y?a,且z?x?ay的最小值为7，则a＝_________.
?x?y??1
三、解答题（17题10分，18-21题每题15分，共 70 分）
17、已知命题p:x?1?c(c?0);命题q:x?5?2,且p是q的充分条件，求c的取值范围．
18、若a，b，c∈R＋
，且满足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值； (2)求111
a＋b＋c的最小值.
19、已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Bcos Csin A
b＋c＝3sin C
.
(1)求b的值；
(2)若cos B＋3sin B＝2，求△ABC面积的最大值．
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20、在等差数列?an?中，a1?3，其前n项和为sn，等比数列?bn?的各项均为正数，b1?1，公比为q，且b2?S2?12,q?S2. b2(1)求 ? a n ?与 ? b n ?的通项公式； (2)证明：
21、已知函数f(x)?11112??????. 3S1S2Sn3x2?6x?9?x2?8x?16．
(1)求f(x)?f(4)的解集；
(2)设函数g(x)?k(x?3)，k?R，若f(x)?g(x)对任意的x?R都成立，求实数k的取值范围．
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2019~2020学年度第一学期期中考试
高二年级数学试题
一、选择题 DBABD,BCCAA,AC 二、填空题 13、2 14、4?三、解答题 17、c??0,2?
8
18、(1)解：因为a，b，c∈R，所以2＝a＋b＋c≥3abc，故abc≤.
27
＋
1 15、?3,8? 16、3 n3
28
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为.
327
1111＋
(2)证明：因为a，b，c∈R，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a
abc2111?1??＋＋＝(a)2＋(b)2＋(c)2]·＋b＋c)???abc?2??
1?2?a·
111?9
＝. ＋b·＋c·abc?2
2
1??
＋a??
2
1??＋b??
2
1?c?
2
??≥ ?
1119所以＋＋≥.
abc2
a2＋c2－b2a2＋b2－c23a
19、解：(1)由题意及正、余弦定理得＋＝，
2abc2abc3c
2a23a
整理得＝，所以b＝3.
2abc3c
π
B＋?＝2， (2)由题意得cos B＋3sin B＝2sin??6?π
B＋?＝1， 所以sin??6?
πππ
因为B∈(0，π)，所以B＋＝，所以B＝. 623由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 所以3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， 即ac≤3，当且仅当a＝c＝3时等号成立． 1333
所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝ac≤，
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