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y，z）点军连续，∴u?xyz在每一点均可微，其全微分：
dz?yzdx?xzdy?xydz。
§8.4 多元复合函数的求导法则
一、内容要点
1．复合函数的中间变量均为一元函数的情形
设z?f(u,v)，u??(t),v??(t)，则z?f[?(t),?(t)]，且
dz?zdu?zdv ??dt?udt?vdt
2．复合函数的中间变量均为多元函数的情形
设z?f(u,v)，u??(x,y),v??(x,y)，则z?f[?(x,y),?(x,y)]，且
?z?z?u?z?v ???x?u?x?v?x?z?z?u?z?v?? ?y?u?y?v?y 3．复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形
设z?f(u,v)，u??(x,y),v??(y)，则z?f[?(x,y),?(y)]，且
?z?z?u ??x?u?x?z?z?u?zdv?? ?y?u?y?vdy二、教学要求和注意点
教学要求：
1． 会求复合函数的中间变量均为一元函数的情形
2． 理解并会求复合函数的中间变量均为多元函数的情形
3． 会求复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 教学注意点：
多元复合函数的求导法则实际上是一元复合函数求导法则的推广，都是所谓的链锁法则，要求学生掌握其本质，重点要掌握和理解复合函数的中间变量均为多元函数的情形。在具体求导时，最好能画出变量之间关系的树形图。
一、全导数
定理1：设u??(x)，v??(x)在点x处可导，z?f(u,v)在x对应的点（u，v）处有连续的偏导数。则一元函数z?f(u(x),v(x))在点x处可导，称其为全导数。且
dz?zdu?zdvdz?fdu?fdv。称公式（1）为全导数????或者????……公式（1）
dx?udx?vdxdx?udx?vdx公式。
证明：由于z?f(u,v)有连续的偏导数，则z?f(u,v)可微。
?f?fdu?dv，又u，v关于x可导。从而du???(x)dx，dv???(x)dx。 ?u?vdz?fdu?fdv代入可得：????。
dx?udx?vdx∴ dz?-------------
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v2 【例】：（1）、y?u，u?cosx，v?sinx，求
dy。 dx?y?y?uv?lnu ?v?uv?1，?v?ududv 且：??sinx，?2sinxcosx?sin2x
dxdx22dy ∴ ??sin3x(cosx)?cosx?sin2x?(cosx)sinx?lncosx
dx 解：
二、复合函数微分法
定理2：设函数u?u(x,y)， v?v(x,y)，在点（x，y）处有偏导数，函数z?f(u,v)在其对应的点处有连续的偏导数，则z?f(u(x,y),v(x,y))在点（x，y）处有对关于x和y的偏导数，且有下列公式：
?z?z?u?z?v?f?u?f?v???????? ?x?u?x?v?x?u?x?v?x?z?z?u?z?v?f?u?f?v????????……公式（2） ?y?u?y?v?y?u?y?v?y记忆方法：如图
【例】y?u，u?2x?y，v?x?3y，求
v2〖注〗：连线相乘，分线相加。
?z ?x
?z?z?u?z?v?????vuv?1?2?uvlnu?1解： ?x?u?x?v?x?2(x?3y2)(2x?y)x?3y2?1?(2x?y)x?3yln(2x?y)?z?f1，?u2【注】在实际解题过程中，我们防止出现不便，所以一般习惯有以下记号：
?z?f2，其中1，2是根据题设z?f(u,v)中，u和v在函数中排在第个来决定，此点务?v必记清楚。
定理3：设函数u?u(x,y)， v?v(x,y)，在点（x，y）处有偏导数，函数
z?f(x,y,u,v)，则：函数z?f(x,y,u,v)在点（x，y）处也有偏导数。且：
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?z?f?f?u?f?v??????f1?f3?u1?f4v1 ?x?x?u?x?v?x?z?f?f?u?f?v??????f1?f3?u2?f4v2 ?y?y?u?y?v?y其中：
?f?f?f?u?v?f1，?f3，?f4，?u1，?v1等等。 ?x?u?v?x?x记忆方法：如图【注】：1、
〖法则〗连线相乘，分线相加。
?f?z是二元函数z?f(x,y,u(x,y),v(x,y))关于x的偏导数。而是四
?x?x元函数f(x,y,u,v)关于x的偏导数。
【例】：w?F(x?y?z)，z?f(x,y)，y??(x)，其中f,g,?有连续的导数或者偏导数。求
dw dxdudydz?1?? dxdxdx 解：令u?x?y?z，
又因为
dz?f?fdy?f?fdy??1??????(x) ???(x)，
dx?x?ydx?x?ydx又：
dwdu?f?f?F?(u)??F?(x?y?z)?[1???(x)????(x)]。 dxdx?x?y〖注〗上题中的w函数是一元函数 【例】设z?f(x,)，求
yx?z?z，。 ?x?y 解：
?zyy?f1?f2(?2)?f1?2f2 ?xxx?z1?f2。 ?yx同理：
【例】：f(x,y)连续偏导数，f(1,1)?fx(1,1)?1，fy(1,1)?2，
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z?f(f(x,y),f(x,y))，
?z ?x(1,1) 解：令u?f(x,y)，v?f(x,y) ∴ z?f(u,v)，
?z?f?u?f?v???? ?x?u?x?v?x ?f1(f(x,y),f(x,y))f1(x,y)?f2(f(x,y),f(x,y))f1(x,y) 其中：f1?fx,f2?fy ∴
?z?1?1?2?1?3
?x(1,1)?2u【例】：u?f(x,y,z),z?g(x,y)，求
?x?y 解：
?udxdy?z?z ?f1?f2?f3?f1?1?f2?0?f3?xdxdx?x?x?gdx?gdy?]?f1?f3[g1?g2?0]?f1?f3g1 ?xdx?ydx =f1?f3[?2u???f1(x,y,z)?f3(x,y,z)g1(x,y,z)??f12?f13g2?g1f32g2?f3g2
?x?y?y =f12?g2f13?g1g2f32?g12f3 三、全微分不变性（形式）
设z?f(u,v)有连续的偏导数，无论u,v是自变量还是中间变量，都有：
dz?fu(u,v)du?fv(u,v)dv
证明：（1）、当u,v为自变量时：（由定理1显然成立）；
（2）当u,v为中间变量时：z?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y)。
? ?
z?f(u(x,y),v(x,y)) dz??z?zdx?dy ?x?y∵
?z?f?u?f?v?z?f?u?f?v????，
?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y-------------
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? dz?{?f?u?f?v?f?u?f?v?}dx?{?}dy ?u?x?v?x?u?y?v?y ??f?u?u?f?v?v[dx?dy]?[dx?dy] ?u?x?y?v?x?y又∵du??u?u?v?vdx?dy，dv?dx?dy ?x?y?x?y∴ dz?fu(u,v)du?fv(u,v)dv
【例89-1】：设函数z?f(2x?y)?g(x,xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)?2z具有二阶偏导数，求。
?x?y 解：
?z?2f?(2x?y)?g1(x,xy)?yg2(x,xy) ?x?2z??[2f?(2x?y)?g1(x,xy)?yg2(x,xy)] ?x?y?y??2f??(2x?y)?xg12(x,xy)?g2(x,xy)?xyg22(x,xy)。
?2z【作业】：设z?f(2x?y,ysinx)，其中f(u,v)具有二阶偏导数，求。
?x?y
§8.5 隐函数的微分法
一、内容要点
Fdy由一个方程F(x,y,z)?0??x；
dxFyFyF?z?z??x，确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数 ??dxFz?yFz 1．由一个方程F(x,y)?0确定的隐函数的导数
2．由方程组确定的隐函数的导数
二、教学要求和注意点 教学要求：
1． 会求由一个方程确定的隐函数的导数 2．会求由方程组确定的隐函数的导数 教学注意点：
在计算由方程组确定的隐函数的导数时，要注意区分哪些是自变量，哪些是因变量，一般来说，有多少个方程就可以确定多少个因变量，剩下的全是自变量。
说明：隐函数的求导虽然没有很多难点，但产生错误的几率很大。主要的原因还是运算规则掌握得不好，最好能记住几个求导的公式。
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(整理)多元函数微分
