排列与组合
1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
知识聚焦 不简单罗列
1．排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数．
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
3．排列数、组合数的公式及性质 n！(1)Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ （n－m）！公式 n！Anmn（n－1）（n－2）…（n－m＋1）(2)Cn＝m＝＝(n，Amm！m！（n－m）！mm∈N*，且m≤n)， 特别地，Cn0＝1 性质 (1)0！＝1；Ann＝n! －－(2)Cnm＝Cnnm；Cn＋1m＝Cnm＋Cnm1 正本清源 不单纯记忆
■ 链接教材
1．[教材改编] 5名运动员站成一排照相，共有________种不同的站法．
2．[教材改编] 从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，男、女同学分别至少有1名，则有________种不同的选法．
3．将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有________种(用数字作答)．
■ 易错问题
4．解有关赛制的问题：要弄清比赛规则和比赛局数，再分类考虑．
甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜(无平局)，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次不同视为不同情形)共有________种．
■ 通性通法
5．排列问题：关键在于“有序”．
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有甲、乙、丙、丁、戊5架歼-15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为________．
6．组合问题：关键在于“无序”．
从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)
探究点一 排列问题
1 (1)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，身穿蓝颜色衣服的有1人，现将这5人排成一排，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( )
A．48种 B．72种 C．78种 D．84种
(2)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
[总结反思] (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法．在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)有限制条件的排列问题的常用方法：相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法． 式题 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 探究点二 组合问题
2 将5名同学分配到A，B，C 3个宿舍中，每个宿舍至少安排1名，其中甲同学不能分配到A宿舍，则不同的分配方案种数是( )
A．76 B．100 C．132 D．150
[总结反思] 解决组合问题两类题型的方法：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：若直接分类复杂，则间接求解． 式题 (1) 计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在四个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有( )
A．60种 B．42种 C．36种 D．24种
(2)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 探究点三 分组分配问题 考向1 整体均分问题 3 某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的2个班且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )
1
A．A62C42 B.A62C42
2
C．A62A42 D．2A62
[总结反思] 对于整体均分问题，往往是先分组再排列．在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．
式题 将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( )
A．12种 B．16种 C．18种 D．36种
考向2 部分均分问题 4 某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法有( )
A．80种 B．90种 C．120种 D．150种
[总结反思] 对于部分均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m
组元素个数相等，则分组时应除以m！.
式题 某学校推荐甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三所大学的自主招生考试．每名同学只推荐一所大学，每所大学至少推荐1名，则不推荐甲同学到A大学的推荐方案有( )
A．24种 B．48种 C．54种 D．60种
考向3 不等分问题 5 5名医生和3名护士被分配到甲、乙2所学校为学生体检，每所学校至少分配2名医生和1名护士，则不同的分配方法有( )
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
[总结反思] 对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑．在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题．
式题 (1)把3位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有________种．
(2)甲、乙两位兽医对动物园的三只老虎、两只狮子进行体检．若要求每位兽医至少检查两种动物各一只，则不同的体检任务分配方案有________种．
学科能力 自主阅读型
创新应用 8.巧用模型法求解排列组合问题
【典例】 把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有________种不同的放法．
思路 本题可先向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球，再将剩下的17个球随意分成三份装入盒子中即可．
答案 120
解析 题目有限制条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球后，还剩余17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C162＝120(种)不同的放法.
排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中这类问题可利用“隔板法”求解，实质上是最终转化为组合问题．对于一些特定的排列组合问题，要根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比构建模型是其求解的关键. 【跟踪练习】 (1)12名同学站成两排合影，前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数是( )
A．C82A32 B．C82A66 C．C82A62 D．C82A52
（完整word版）排列与组合知识点与习题，推荐文档
