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第六章 微分中值定理及其应用 (计划课时： 8 时 ) § 1 中值定理 ( 3 时 )
一 思路 : 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑 导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的，需要建立导 数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发： lim = f (x0) .若能去掉导数定义中的极限符号,即 x x
? f (x0) ,则目的就可达到 .这样从几何上说就是要考虑
x x0 曲线的割线与切线之间的平行关系 . 一方面要考虑给定割线 , 找平行于该割线的切线 ; 另一方面要考虑给定切线 , 找平行于 该切线的割线 . (1) 若给定的割线是水平的、 斜的或曲线的方程以 参数方程的形式给出， 则分别可找出相应的切线平行于该割线， 再分析所需要的条件，就可建立起 Rolle 定理、 Lagrange 定理、 Cauchy 定理 . 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连 续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的 切线 . (2)若给定切线 , 找平行于该切线的割线 , 则不一定能实 现. 二 微分中值定理 :
1. Rolle 中值定理 : 叙述为 Th1. ( 证 ) 定理条件 的充分但不必要性 .
2. Lagrange中值定理 : 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数 , 证明定理 . Lagrange 中值定理的各种形式 . 关于中值点的位置 . 系 1 函数 f(x)在区间 I 上可导且 f (x) 0, f(x)为 I 上的常值
函数. (证) 系 2 函 数 f (x) 和 g(x) 在 区 间 I 上 可 导 且 f (x) g (x), f (x) g(x) c, x I.
系 3 设函数 f(x)在点 x0的某右邻域 (x0)上连续 ,在 (x0)
f(x) f(x0)
xx
x x0
0
f (x) f (x0)
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内可 导.若 lim f (x) f (x0 0) 存在 , 则右导数 f (x0) 也存在, 且有
x x0
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f (x0 ) f (x0 0).(证)
但是, f x0 不存在时 , 却未必有 f ( x0 )不存在 . 例如对函 数
(
0)
1
x 0,
x sin ,
f (x)
x 0.
2
虽然 f (0 0)不存在,但 f(x)却在点 x 0可导(可用定义求得
x
0,
f (0) 0).
Th3 (导数极限定理 ) 设函数 f(x)在点 x0的某邻域 (x0)内连续,
在 x0 内 可 导 . 若 极 限 lim f (x) 存 在 , 则 f x0
也 存 在 , 且
f (x0 ) lim f (x). ( 证 )
(
)
(
)
xx
x x
0
xx
x x
0
由该定理可见 , 若函数 f (x)在区间 I 上可导,则区间 I 上的每 一点,要么是导函数 f (x)的连续点 ,要么是 f ( x)的第二类间断点 . 这就是说 ,当函数 f (x)在区间 I 上点点可导时 , 导函数 f (x)在区 间 I 上不可能有第二类间断点 .
3. Cauchy 中值定理 :
Th 4 设函数 f 和g在闭区间 ［a,b］上连续 , 在开区间 (a,b)内可导, f 和 g 在 (a,b)内不同时为零 , 又 g(a) g(b). 则在 (a,b) 内至少存在 一点 , 使得
f ( ) f(b) f(a). .
g ( ) g(b) g(a) f(b) f(a)
证 分析引出辅助函数 F(x) f(x) g(x) . 验证 F(x) g(b)
g(a)
在［a,b］上满足 Rolle 定理的条件 , (a,b),
f (b) f
F() f() 0.
(a) g(b)
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(整理)《数学分析》第六章_微分中值定理及其应用.
