例5、如图48-3，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB的中点，且MN⊥AB。 求证：梯形ABCD是等腰梯形。
图48-3
例6、已知：如图49-2，梯形ABCD中，AB⊥BC，DE=EC。求证：AE=EB。
几何部分 第四章：相似形
知识点：
一、比例线段
1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或
ab?mn）
2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例 5、比例内项：在比例
abab??abcdcd?ab?cd
（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 （或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。
cd 6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
ab?ba 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们
把b叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那
么a：b＝c：d
10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。 11、合比性质：如果 12．等比性质：如果
abab??cdcd，那么
mna?bb?c?dd
a?c???mb?d???n?ab???，（b?d???m?0），那么
说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的
5?12倍得到点C，则点C就是AB的黄金分割点。
二、平行线分线段成比例
1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
格式：如果直线L1∥L2∥L3， AB＝ BC， 那么：A1B1＝B1C1，如图4－l
说明：由此定理可知推论1和推论2
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
格式，如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图4—3 2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。
3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。
说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图4—4 说明2：图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。 4、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。
7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。 说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。
三、相似三角形
1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。 4、三角形相似的判定定理：
（1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
（2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。
第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。 5、相似三角形的性质：
（1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。
说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。 （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。 6、介绍有特点的两个三角形
（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。 （2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6
（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。 说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB 例题：
bbca?b,?.求:354b?c的值. 例1、已知：2分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法： (1)设比值为k;
(2)比例的基本性质；
(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.
?a354，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设解：由2a=10k,b=15k,c=12k, 则(a+b):(b－c)=25:3.
例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，
1分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2)AD求证AF∥MC.
a?b及b?c?1BC?2EF;(3)若MN为梯形中位线，
分析：
(1)利用比例证明两线段相等的方法.
a①若d??cd,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)； ba,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)； c''''a②若dad,dd,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′. ③若d(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.
1(3)证明AD?a?c?1BC?21EF时，可将其转化为“a?1b?1c”类型后：
?1ab①化为直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；
②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.
(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题. 延长BA，CD交于S，AF∥MC
c?c
∴ AF∥MC成立.
(5)用运动的观点将问题进行推广. 若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么?
(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等
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