高考复习专题：简单的线性规划
专题要点
简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。
线性规划等内容已成为高考的热点， 在复习时要给于重视 ,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化 ,在复习时也应是注意。
考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三
是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空
题形式出现，不排除以解答题形式出现。 考纲要求
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解
线性规划的意义并会简单应用。 典例精析
线性规划是高考热点之一 ,考查内容设计最优解 ,最值 ,区域面积与形状等 ,通常通过画可行域 ,移线 ,数形结合等方法解决问题。考点 1：求给定可行域的最优解
x y 1 x 1 0
例 1. （2012
广东文） 已知变量 x 、 y 满足约束条件 x
y 1 , 则 z x 2 y 的最小值为
（
）
值 . 5 .
A．3 B．1 C． 5 D． 6
解析 :C. 画出可行域 , 可知当代表直线过点 A 时, 取到最小
x x 1
联立 , 所以 z x 2y 的最小值为 1 , 解得
y x 1
y 2
x 2x
y 3 例 2.（ 2009 天津）设变量 x，y 满足约束条件： x
y 1 . y 3
则
目标函数 z=2x+3y的最小值为
（A）6 （B）7 （C）8
（D）23
x y 3 2x y 3
解析：画出不等式 x y
1 表示的可行域，如右图，
让目标函数表示直线 y
值，解方程组 x y
3
2x 3
z
在可行域上平移，知在点 B 自目标函数取到最小
3
得 (2,1) ，所以 zmin 4 3 7 ，故选择 B.
2x
y
3
发散思维： 若将目标函数改为求 z
y 的取值范围；或者改为求 x
z
x
y
的取值范围；
3
y 2 的最大值。 或者改为求 z
x2
y 2 的最大值；或者或者改为求 z
x 1 2 方法思路： 解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几 何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要
注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。
2x y x 1
2 0 0
练习 1.（2012
天津）设变量 x, y 满足约束条件 x 2y
4 0 , 则目标函数 z
3x 2 y 的
最小值为
（ ）
A． 5 B． 4 C． 2
【解析】做出不等式对应的可行域如图 , 由 z 3x
D．3
z , 由图象可知当直线 2 y 得 y 3 x 2
y
3 x 2
z 经过点 C (0,2) 时, 直线 y
3 x 2
2
4,选
2
的截距最大 , 而此时 z 2
z
3x 2 y 最小为
z 3x 2 y
B.
0≤ x≤1， 0≤ y≤ 2， 2y－ x≥ 1，
练习 2．在约束条件
下， x－1 2＋ y2的最小值为 ________．
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到
x－ 1 2＋y2 可视为该区域内的点 (x， y)
|－ 1－ 1|
5
与点 (1,0) 之间距离，结合图形可知， 该距离的最小值等于点 (1,0)到直线 2y－ x＝ 1 的距离，即为
2 5 案
5
＝ 5 5 .
2
答
练习 3、（ 2011 广东文、理数）已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组
给定．若 M（x，y）为 D 上的动点，点 A 的坐标为
，则 z= ? 的
最大值为（ ）
C、3 A、3 B、4 D、4
解答：解：首先做出可行域，如图所示：
z= ? = ，即 y=﹣ x+z 做出 l0：y=﹣ x，将此直线平行移动，当直线 y= ﹣ x+z 经过点 A 时，直线在 y 轴上截距最大时， z 有最大值．
因为 A（ ，2），所以 z 的最大值为 4 故选 B
x＋y≥2，
练习 4.（ 2011 福建） 已知 O是坐标原点， 点 A( －1,1) ，若点 M(x，y) 为平面区域 x≤1，
上的一个动点，
y≤2
→ →
则 OA· OM的取值范围是 ( A． [ － 1,0] B
)
．[0,1] C． [0,2]
D
．[ － 1,2] x＋y≥2，
→ →
【分析】 由于 OA· OM＝－ x＋ y，实际上就是在线性约束条件 x≤1，
y≤2
下，求线性目标函数 z＝－ x＋ y 的
最大值和最小值．
→ →
【解析】 画出不等式组表示的平面区域 ( 如图 ) ，又 OA· OM＝－ x＋ y，取目标函数 z＝－ x＋ y，即 y＝ x＋ z， 作斜率为 1 的一组平行线．
当它经过点 C(1,1) 时， z 有最小值，即 zmin ＝－ 1＋ 1＝0；当它经过点 B(0,2) 时， z 有最大值，即 zmax＝－ 0＋ 2＝ 2.
→ →
∴ z 的取值范围是 [0,2] ，即 OA·OM的取值范围是 [0,2] ，故选 C.
考点 2：求给定可行域的面积
x 0 3x y 4
例3．在平面直角坐标系中，不等式组 x 3 y 4 表示的平面区域的面积为（
）
A． D．
3
2
B．
2
3
C．
4
3
3
4
答案 c
考点 3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数 例4．(2012广州一模文数 )在平面直角坐标系中，若不等式组
x y 2≥0, x y 2≥0, 表示的 x≤ t
平面区域的面积为 4，则实数 t 的值为 A．1 B．2
答案 B
C．3
D．4 1 0 0
x y 1 ax y
练习 5.（2009 福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组 x
（ 为常数）
1 0
所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 解析解析 如图可得黄色即为满足 x 1 0与 x
D. 3
y 1 0的可行域，而 ax y 1 0 的直
线恒过（ 0，1），故看作直线绕点（ 0，1）旋转，当 a=-5 时，则可行域不是一个封
3
闭区域，当 a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是 ；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选
2
D.
专题：简单的线性规划(含答案).doc
