国土信息与测绘工程系 教案（首页）
班级： 课程：误差理论与测量平差 授课日期： 年 月 日 第 周
A.提出问题，导入新课
观测数据必然带有误差，观测值函数或函数向量的精度可以根据误差传播定律（协方差传播定律）求得。
那么方差传播定律在大地测量学是如何应用的？。
B.授课章节名称： §3.3 方差和协方差传播定律在测量中的应用 教学要点：
1、方差和协方差传播定律的具体应用
2、菲列罗公式、水准测量、三角高程测量、限差的确定和交汇点的精度
重点：
1、菲列罗公式、水准测量、三角高程测量的理论推导 2、交汇点精度的理论推导
难点：
1、方差和协方差传播定律在具体应用中需要注意的一些问题 2、非线性问题的处理
C.教学过程设计
菲列罗公式
观测值算术中数的精度 水准测量的精度
三角高程测量的精度 独立误差的联合影响 限差的确定 交汇点的精度 GIS线元要素的方差
时间观测序列平滑平均值的方差 课堂习题 作业题布置
第五讲
同学们,我们上一节课学习了方差和协方差的传播定律，它是本章和本书的核心内容，希望大家要深刻理解并熟练掌握。
本次课程我们将学习误差传播定律在大地测量具体问题中的一些应用，以便更好地理解观测值函数的中误差的应用。
§1.5 方差和协方差传播定律在测量中的应用
一、由三角形闭合差计算测角中误差－菲列罗公式
设在三角网中独立等精度观测了各三角形之内角，中误差皆为?，并设各三角形的闭
800，i?1,2,?,n。其中Ai、Bi、Ci合差为W1、W2···Wn，即Wi?Ai?Bi?Ci?1为第i个三角形的三内角观测值，其中观测精度均为?；设闭合差的中误差是?W。应用误
22差传播定律有?W?3?，因为闭合差是真误差，故由中误差定义可得闭合差的中误差是
?2WW12?W22?????Wn2?WW? ?lim?limn??n??nn所以测角中误差是
W12?W22?????Wn2?WW?
??lim?limn??n??3n3n2其估值公式就是：
?2???WW? ，?????WW?
3n3n上式就是在测量中常用的由三角形闭合差计算测角中误差的菲列罗公式。 二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差
设一个量的n个独立等精度的观测值是L1、L2···Ln，中误差均为?；其算术中数是
??1(L?L???L) L12nn那么算术中数的精度是
2?1?2?L???n????n?三、水准测量的精度
1? n若在A、B两点间进行水准测量，共设站n次，则A、B两点间高差等于各站测量得到的高差之和，即
h?HB?HA?h1?h2???hn
式中hi为各站所测量的高差，当各站距离大致相等时，这些观测值高差可以视为等精度，假设它们的中误差均为?，则两点间高差的中误差是
?h?n?
因为各站距离s大致相等，则近似地有全长S?ns，这样可得
?h??1?1S?S?KS，K?? ?????s?ss??表明水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。 四、三角高程测量的精度
若在A、B两点间进行三角高程测量，在A点观测B点的高度角是?，两点间的水平距离是S，在不考虑仪器高和目标高的情况小，可计算A、B两点间高差的基本公式是
h?HB?HA?S?tan?
设S和?的中误差是?S、??，则由方差传播定律可得两点间高差的中误差是
2??h?2??h?222222?h????S???????tan???S?S?sec???
??S?????22??在实际应用中，由于距离的中误差远远小于测角中误差，所以第一项可忽略不计；又因为垂直角一般小于5，可以认为sec??1。故得
0????????????22?， ?h?S2???S2???h?S???????????????表明三角高程测量的中误差与三角点的距离成正比。 五、若干独立误差的联合影响
在测量中常常遇到这种情况：一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。例如照准误差、读数误差、目标误差和仪器误差对测角的影响。在这种情况下观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即
2?z??1??2????n
由于这里的真误差相互独立，各种误差的出现都是随机的。根据方差传播定律可知
22?z2??12??2????n
即观测结果的方差等于各个独立误差所对应的方差之和。 六、限差的确定
例如：已知二等三角测量中的观测角中误差是?1??，在求三角形闭合差的限差时有
W限?2?W?23??23?(?1??)??3??.5
例如：已知用T3经纬仪观测每一个方向的中误差是?1??.2，设归零差为d，两次照准零方向的观测值是L1和L2。则求归零差的极限误差时有
d?L1?L2
?d?2??2?(?1??.2)??1??.7
于是归零差的限差是
?限?2?d??3??.4
但在实际作业中，归零差中不仅包含偶然误差的影响，还受一些系统误差的一些。所以规范轨道的限差应当放宽一些。 七、交会点的精度
用侧方交会法测定P点的位置。A、B为已知点，边长S0和坐标方位角?0是没有误差的。设独立观测值是L1和L2，其中误差均为?。交会点P点的坐标由下式计算：
S?S0sinL10，???0?(180?L1?L2) sinL2x?xA?Scos?，y?yA?Ssin?
式中S是AP边的边长，?是它得方位角。 解：首先求S和?的方差和协方差
?S?dS??ctgL1????d?????????1??S???20?ctgL2??dL1?? ?????dL??，DLL??2?????2??0??1?DS???S?2???(ctg2L?ctg2L)12??????????S?????(ctgL1?ctgL2)?S(ctgL1?ctgL2)???2???2?? ???再求P点坐标的方差和协方差
???dx????dy????????cos?sin??S?sin??dS???????? ?S??cos???d??????
误差理论和测量平差 第五讲
