求解线性卷积、循环卷积的课上例题
例：x(n)?R3(n)?{1,1,1}，0?n?2；h(n)?(4?n)R4(n)?{4,3,2,1}，0?n?3，
求线性卷积y(n)?x(n)*h(n)和L点循环卷积。 线性卷积：y(n)?x(n)*h(n)?m????x(m)h(n?m)??m????h(m)x(n?m)
2 2 1 3 1 1 1 1 y(n) 4 7 9 6 3 1 ?1）列表法（以m为变量，翻褶、移位、相乘、相加） m 0 1 ?2 ?1 h(m) 4 3 x(m) 1 1 n=0 1 1 1 x(?m) n=1 1 1 1 x(1?m) n=2 1 1 1 x(2?m) n=3 1 1 x(3?m) n=4 1 x(4?m) n=5 x(5?m) y(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1}，0?n?5，非零数据长度6?4?3?1 （h(n)长度为N，x(n)长度为M，y(n)长度为N?M?1）
2）移位加权和法（以n为变量） y(n)?m?m1?x(m)h(n?m)?x(0)h(n)?x(1)h(n?1)?x(2)h(n?2)，其中x(m)?{1, 1, 1}，0?m?2
n x(0)h(n) x(1)h(n?1) x(2)h(n?2) y(n) 0 4 4 1 3 4 7 2 2 3 4 9 3 1 2 3 6 4 1 2 3 5 1 1 m2y(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1}，0?n?5
L点循环卷积：yc(n)??x(m)h((n?m))LRL(n)??h(m)x((n?m))LRL(n)
m?0m?0L?1L?11）矩阵方程法（以m为变量）
先将x(n)、h(n)补零到L点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间的值、循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算。
以用x(n)构成方阵为例。方阵第一行的构成：x(0)不动，将其它值从后往前倒过来写。下面各行依次对上一行循环右移一位，共L行。
例：求x(n)?R3(n)，h(n)?(4?n)R4(n)的4点循环卷积yc1(n)?x(n)④h(n)。
?11yc1(n)???1??0011110111??4??41??3???30??2??21????1????1143221433??1??7?2??1???8? 1??1??9?4????0????6??yc1(n)={7, 8, 9, 6}，0?n?3
例：求x(n)?R3(n)，h(n)?(4?n)R4(n)的8点循环卷积yc2(n)?x(n)⑧h(n)。
?4?3??2?1yc2(n)???0??0?0???00432100000432100000432100000432110000432210000433??1??400??4???7????2?????1??340??9?1??1??234???1???????0??0??123????6? ?1?0??0??012????3???1???????0??0??001????1??0?0??0??000????????0004?0???????????0??yc2(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1, 0, 0}，0?n?7
2）循环移位加权和法（以n为变量）
yc(n)?M?1m?0?x(m)h((n?m))LRL(n)，其中x(m)?{1, 1, 1}，0?m?2，x(m)的长度M?3
n x(0)h((n))4R4(n) x(1)h((n?1))4R4(n) x(2)h((n?2))4R4(n) yc1(n) 0 4 1 2 7 1 3 4 0 7 2 2 3 4 9 1 3 4 1 8 3 1 2 3 6 2 2 3 4 9 4 0 1 2 3 3 1 2 3 6 5 0 0 1 1 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 yc(n)?x(0)h((n))LRL(n)?x(1)h((n?1))LRL(n)?x(2)h((n?2))LRL(n)
yc1(n)={7, 8, 9, 6}，0?n?3 n x(0)h((n))8R8(n) x(1)h((n?1))8R8(n) x(2)h((n?2))8R8(n) yc2(n)
0 4 0 0 4 yc2(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1, 0, 0}，0?n?7 可见，8点循环卷积与线性卷积非零数据区间的值完全对应相等，因为L点循环卷积是线性卷积以L为周期进行周期延拓的结果，当L?N?M?1时（N、M分别为h(n)、x(n)的长度）周期延拓无混叠，此时可用计算L点循环卷积的方法求出线性卷积（本题用6点循环卷积即可求出线性卷积）。
已知线性卷积，也可对线性卷积以L为周期延拓后取主值区间的值，从而得到L点循环卷积。
例：已知线性卷积y(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1}，0?n?5，求4点循环卷积。 n y(n?4) y(n) yc1(n) -4 -3 -2 -1 0 4 7 9 6 3 4 7 1 1 7 8 2 9 9 3 6 6 4 3 5 1 yc1(n)={7, 8, 9, 6}，0?n?3
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