课时分层训练(二十八) 等差数列
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为( ) A．37 C．20
B．36 D．19
9×8
A [am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.]
2
2．(2017·深圳二次调研)在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4
＝( )
A．4 C．5
B．－4 D．－5
??10a1＋45d＝60，
C [法一：由题意得?
?a1＋6d＝7，?
a1＝3，??
解得?2
d＝，??3
2
∴a4＝a1＋3d＝5.
10
法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝又∵a7＝7，∴a4＝5.]
a1＋a10
＝60，∴a1＋a10＝12.
3．(2017·福州质检)已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝( )
【导学号：66482245】
A．22 C．8
B．4 D．16
B [法一：由题意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4，故选B. 法二：由题意得?
??a7－2a4＝a1＋6d－2??a3＝a1＋2d＝2，
a1＋3d＝6，
解得?
??a1＝－6，??d＝4，
故选B.]
4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为( )
【导学号：66482246】
A．S7 C．S5
??a4＋a7＝a5＋a6<0，C [∵?
?a5>0，?
B．S6 D．S4
??a5>0，
∴?
?a6<0，?
∴Sn的最大值为S5.]
5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：
1
今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )
A．9日 C．16日
B．8日 D．12日
A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前
n天共跑的里程为S＝na1＋
nn－1
2
d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽马每日行程
nn－1
2
132
也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋
d2＝97n－
0.5
n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，2
2
2
则有6.5n＋96.5n－0.25n＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A.]
二、填空题
6．(2017·郑州二次质量预测)已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝__________.
－1 [因为a5是a3与a11的等比中项，所以a5＝a3·a11，即(a1＋4d)＝(a1＋2d)(a1＋10d)，解得a1＝－1.]
7．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则
2
2
S6＝________.
6 [∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0. ∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2. 6×
∴S6＝6a1＋
6－1
d＝6.] 2
2
8．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a2＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
5×4
20 [法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d2＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a2＝－3，化简得d－6d＋9＝0，所以
2
2
d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
5a1＋a5
法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.
2由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a2＝－3，化简得a2＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.] 三、解答题
2
2
2
9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
【导学号：66482247】
[解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋
Snnkk－1
2
2
·d＝2k＋
kk－1
2
×2＝k＋k. 3分
2
由Sk＝110，得k＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. 5分 (2)证明：由(1)得Sn＝则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，8分 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn＝
n2＋2n2
＝n(n＋1)，
Snnn2＋n＋1
2
＝
nn＋3
2
. 12分
10．(2017·合肥三次质检)等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，且a3·a4＝a12. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·2，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解] (1)由a3·a4＝a12得(1＋2d)·(1＋3d)＝1＋11d?d＝1或d＝0(不合题意舍去)，∴数列{an}的通项公式为an＝n. 5分
(2)依题意bn＝an·2＝n·2，
nnnTn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2＋n×2
1
2
3
2
3
nn＋1
，9分
两式相减得－Tn＝2＋2＋2＋…＋2－n×22 ＝
1－21－2
nnn＋1
－n×2
n＋1
n＋1
＝(1－n)2－2，
＋2. 12分
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
∴Tn＝(n－1)2
n＋1
1．设数列{an}的前n项和为Sn，若
Sn为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等S2n3
差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为( )
A．bn＝n－1 C．bn＝n＋1
B．bn＝2n－1 D．bn＝2n＋1
B [设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，
Sn1
＝k，因为b1＝1，则n＋n(n－1)d＝S2n2
??k?2n＋×2n2n－1d?， ?
?
即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0. 因为对任意的正整数n上式均成立， 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0， 1
解得d＝2，k＝，
4
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.]
2．已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为__________.
【导学号：66482248】
110 [因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，
12
nn－1nn－1
Sn＝na1＋d＝20n－×2
2
2
?21?2?21?22
＝－n＋21n＝－?n－?＋??，
2??2??
又因为n∈N，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.]
3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
[解] (1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，2分 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. 5分 (2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1， 可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1. 7分 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；9分
*
4
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列. 12分
5
高考数学一轮复习 第5章 数列 第2节 等差数列课时分层训练 文 北师大版
