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华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导
一、 判断两个函数的定义域是否相同
1、f(x)?lnx2与f(x)?2lnx是否表示同一个函数？ 2、f(x)?|x|与f(x)?x2表示同一个函数
二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：
x?0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
x~ln(1?x)~ex-1
1211?cosx~x,1?x?1~x
22无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用
相应的等价无穷小替换
例题：
sin33x?？ 1、lim2x?0xsin3x~3x， 解：当x?0， . 学习参
考 .
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(3x)3原式=lim2?lim27x?0
x?0xx?0 2、limsin3xx?0x?？
解：原式=lim3xx?0x?3
3、lim1-cosxx?0x2?？ 解：当x?0，1-cosx~122x12x2 原式=lim1x?0x2?2
4、limln(1?3x)x?0x?？
解：当x?0，ln(1+3x)~3x 原式=.lim3xx?0x?3.
5、lime2x?1x?0x?？
. 考 .
学习参
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解：当x?0，e2x?1~2x
2x 原式=.lim?2.
x?0x
三、 多项式之比的极限
x2?113x2?xx?，lim?? lim2?0，lim2x??3x?xx??x??3x?x3x
四、 可导与连续等的关系
1、若
f(x)在x0点导数存在, 则
f(x)在x0点连
续. 、2. 若x0是f(x)的驻点，则它不一定是f(x)的极小值点.
五、 导数的几何意义（填空题）
f?(x0)：表示曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率
曲线..y?f(x)..在点M(x0,f(x0))处的切线方程为：
y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)
曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的法线方程为：
y?f(x0)??1(x?x0) f?(x0) . 学习参考 .
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例题：
4?x1、曲线y?在点M(2,3)的切线的斜率．
4?x解：y?x?2(4?x)'(4?x)?(4?x)(4?x)? ?2(4?x)x?2?8(4?x)2
?2
x?22、曲线y?解：y?x?0cosx在点M(0,1)处的切线方程． xe(cosx)'ex?cosx(ex)? ?x2(e)x?0?sinxex?cosxex?(ex)2??1
x?0cosx所以曲线y?x在点M(0,1)处的切线方程为：
ey?1??(x?0)，即x?y?1?0
3、曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程． 2??
3x?125解：y?x?1??x33所以曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程为：
. 学习参考 .
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2y?1??(x?1)，即2x?3y?5?0
3
六、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：
dydyduy?f(u),u?g(x)?y?f[g(x)]:??dxdudx
或y?(x)?f?(u)?g?(x).
微分：dy?f?(x)dx 例题：
1、设y?x2?1，则y'?？
1?1解：y'??x2?1?2??x2?1???2xx?12
2、设y?sinx2，则y'?？ 解：y?cosx??x'22'??2xcosx
2
3、设y?2sinx，则dy?？
解：y'?2sinxln2??sinx??2sinxcosxln2 则dy?2sinxcosxln2dx
. 学习参考 .
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