第01节 函数及其表示
【考纲解读】
考 点 考纲内容 1．了解函数、映射的概念，会求简单的函数的5年统计 2013·浙江文11; 2014?浙江文7,15；理6,15; 2015?浙江文12；理10; 2016?浙江文12; 分析预测 1.分段函数的应用 2.函数的概念 3.备考重点： (1) 理解函数的概念、函数的表示方法； (2) 以分段函数为1.函数的定义域和值域。 基本概念 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。 2.分段函数以及应用 3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题。 2014·浙江文理15; 2015?浙江文12, 理10; 2016?浙江理18; 【知识清单】
背景考查函数的相关性质. 1. 函数与映射的概念
两个集合 函数 设A，B是两个 非空数集 如果按照某种确定的对应关系f，映射 设A，B是两个 非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 映射：f：A→B A，B 对应关系 使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 f：A→B 名称 记法 对点练习： 设集合【答案】
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数y＝f(x)，x∈A ，，试问：从A到B的映射共有几个？
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
对点练习：
若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
【答案】B
【解析】A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2].
3.函数的表示法
对点练习：
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
若函数满足关系式，则的值为（ ）
A. 1 B. -1C. 【答案】A
D.
【解析】试题分析：因为函数满足关系式，所以
，用代换，可得，联立方程组可得，
故选A． 4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分
对点练习：
段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【2017届湖南郴州监测】已知，则使成立的值是
____________.
【答案】
【考点深度剖析】
函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
【重点难点突破】
考点1 映射与函数的概念
【1-1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②③函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】
是函数；
是同一个函数．其中正确
的图象是一条直线；④与
【解析】(1)由函数的定义知①正确．②中满足的不存在，所以②不正
确．③中的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中与
的定义域不同，∴④也不正确．故选
【1-2】设集合的是（ ） A.
B.
，
.
则下列对应
中不能构成
到
的映射
C. 【答案】B
D.
【解析】试题分析：当所以对应
到
的映射；当
时，集合中任意元素，在时，集合
中都有唯一的元素与之对应，
中没有元素与之对应，所以对应不是
到对应
的映射；当到
的映射；当到
时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以
中都有唯一的元素与之对应，
时，集合中任意元素，在
所以对应的映射，故选B．
【1-3】下列两个对应中是集合 到集合 的函数的有________________．（写出符合要求的选项序号）
（1）设 ， ，对应法则 ； （2）设 ， ，对应法则 ； （3）设 ， 对应法则 除以 所得的余数； （4） ，对应法则 ． 【答案】（1） （3）
【领悟技法】
1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合性”．
2. 判断一个对应f：A→B是否为函数，一看是否为映射；二看则
是定义域，而值域是
的子集．
，
是否为非空数集．若是函数，
中元素的任意性，集合
中元素的唯一
3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【触类旁通】
【变式一】下列函数中，与函数的定义域相同的函数为( ) sin xxC．y＝xeD．y＝ x
A．【答案】D 【解析】函数
B．
的定义域是，而的定义域为{x|x≠kπ，
k∈Z}，
sin xx的定义域为(0，＋∞)，y＝xe的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，
x
0)∪(0，＋∞)．故选D.
【变式二】在下列图形中，表示y是x的函数关系的是________．
【答案】①②
【解析】由函数定义可知，自变量对应唯一的【变式三】已知函数
【答案】
值，所以③④错误，①②正确．
，则定义域
为.
的值域为
考点2 求函数的解析式
【2-1】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
【答案】
【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，
???a＝2，?a＝2，∴?解得?∴f(x)＝2x＋7. ?b＋5a＝17，?b＝7，??【2-2】已知【答案】
【解析】(换元法)设∴∴
【2-3】定义在【答案】
. 内的函数
，则
，求
， ，
满足
，
，求
【精选】浙江版高考数学一轮复习专题2.1函数及其表示讲
