增;
当f?(x)?3ax2?2bx?c?0,即x?x1或x?x2时,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减.
当a?0,且b2?3ac?0时,
此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0,函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减 1.4生活中的优化问题举例 习题1.4 A组(P37)
1、设两段铁丝的长度分别为x,l?x,则这两个正方形的边长分别为
xl?x,,44xl?x21两个正方形的面积和为 S?f(x)?()2?()?(2x2?2lx?l2),0?x?l.
4416l 令f?(x)?0,即4x?2l?0,x?.
2ll 当x?(0,)时,f?(x)?0;当x?(,l)时,f?(x)?0.
22l 因此,x?是函数f(x)的极小值点,也是最小值点.
2l 所以,当两段铁丝的长度分别是时,两个正方形的面积和最小.
22、如图所示,由于在边长为a的正方形铁片的四角截去 四个边长为x的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为a?2x,高为x.
a (1)无盖方盒的容积V(x)?(a?2x)2x,0?x?.
2(2)因为V(x)?4x3?4ax2?a2x,
所以V?(x)?12x2?8ax?a2.
aa 令V?(x)?0,得x?(舍去),或x?.
26aaa 当x?(0,)时,V?(x)?0;当x?(,)时,V?(x)?0.
662a 因此,x?是函数V(x)的极大值点,也是最大值点.
6a 所以,当x?时,无盖方盒的容积最大.
63、如图,设圆柱的高为h,底半径为R,
则表面积S?2?Rh?2?R2
V 由V??R2h,得h?.
?R2V2V2?2?R??2?R2,R?0. 因此,S(R)?2?R2?RRxa(第2题)
Rh2VV. ?4?R?0,解得R?3R2?V 当R?(0,3)时,S?(R)?0;
2?V当R?(3,??)时,S?(R)?0.
2?V 因此,R?3是函数S(R)的极小值点,也是最小值点. 此时,
2?VV3h??2?2R. 2?R2? 所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省.
1n2n24、证明:由于f(x)??(x?ai),所以f?(x)??(x?ai).
ni?1ni?11n 令f?(x)?0,得x??ai,
ni?11n 可以得到,x??ai是函数f(x)的极小值点,也是最小值点.
ni?11n 这个结果说明,用n个数据的平均值?ai表示这个物体的长度是合理
ni?1 令S?(R)??的,
这就是最小二乘法的基本原理.
?x22x5、设矩形的底宽为xm,则半圆的半径为m,半圆的面积为m,
82?x22a?x矩形的面积为a?m,矩形的另一边长为(?)m
8x8?x2a?x?2a8a因此铁丝的长为l(x)? ?x???(1?)x?,0?x?2x44x?2a8a?0,得(负值舍去). x?4x24??8a8a8a当x?(0,)时,l?(x)?0;当x?(,)时,l?(x)?0.
4??4???8a因此,x?是函数l(x)的极小值点,也是最小值点.
4??8a所以,当底宽为m时,所用材料最省.
4??6、利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘单价. 令l?(x)?1??? 由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
11 收入R?q?p?q(25?q)?25q?q2,
8811 利润L?R?C?(25q?q2)?(100?4q)??q2?21q?100,0?q?200.
881 求导得L???q?21
41 令L??0,即?q?21?0,q?84.
4 当q?(0,84)时,L??0;当q?(84,200)时,L??0; 因此,q?84是函数L的极大值点,也是最大值点.
所以,产量为84时,利润L最大,
习题1.4 B组(P37)
1、设每个房间每天的定价为x元,
x?1801那么宾馆利润L(x)?(50?)(x?20)??x2?70x?1360,180?x?680.
10101 令L?(x)??x?70?0,解得x?350.
5 当x?(180,350)时,L?(x)?0;当x?(350,680)时,L?(x)?0. 因此,x?350是函数L(x)的极大值点,也是最大值点. 所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为x元/件时,
b?x45b利润L(x)?(x?a)(c?c?4)?c(x?a)(5?x),a?x?.
4bb8c4ac?5bc4a?5b 令L?(x)??x?. ?0,解得x?8bb4a?5b4a?5b5b 当x?(a,)时,L?(x)?0;当x?(,)时,L?(x)?0.
8844a?5b 当x?是函数L(x)的极大值点,也是最大值点.
84a?5b 所以,销售价为元/件时,可获得最大利润.
81.5定积分的概念
练习(P42) 8. 3说明:进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤,体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习(P45)
ii1i121、?si??si??v()?t?[?()2?2]???()2???,i?1,2,nnnnnnnnni 于是 s???si???si???v()?t
ni?1i?1i?1,n.
i12??[?()2???]
nnni?111n?121n21??()2???()??()??2
nnnnnn1??3[1?22??n2]?2
n1n(n?1)(2n?1)??3??2
n6111??(1?)(1?)?2
3n2n 取极值,得
n1i1115 s?lim?[v()]?lim?[?(1?)(1?)?2]?
n??n??n3n2n3i?1ni?1nn说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
222、km.
3说明:进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想,熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习(P48)
2?0x3dx?4. 说明:进一步熟悉定积分的定义和几何意
义.
从几何上看,表示由曲线y?x3与直线x?0,x?2,y?0所围成的曲边梯形的面积S?4.
习题1.5 A组(P50)
i?11)?1]??0.495;
1100100i?15002i?11)?1]??0.499; (2)?(x?1)dx??[(1?1500500i?110002i?11)?1]??0.4995. (3)?(x?1)dx??[(1?110001000i?11、(1)?(x?1)dx??[(1?2100说明:体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为:18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40(m); 距离的过剩近似值为:27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67(m). 3、证明:令f(x)?1. 用分点 a?x0?x1??xi?1?xi??xn?b
将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点
?i(i?1,2,,n)
作和式
?i?1nf(?i)?x??i?1nb?a?b?a, n 从而
?ba1dx?lim?n??i?1nb?a?b?a, n1说明:进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义,?01?x2dx表示由直线x?0,x?1,y?0以及曲线
y?1?x2所围成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因此1?2. 1?xdx??04015、(1)?x3dx??.
?14由于在区间[?1,0]上x3?0,所以定积分?x3dx表示由直线x?0,x??1,y?0和
?10曲线y?x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.
10111 (2)根据定积分的性质,得?x3dx??x3dx??x3dx????0.
?1?1044由于在区间[?1,0]上x3?0,在区间[0,1]上x3?0,所以定积分?x3dx等于位于x轴
?11上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.
202115 (3)根据定积分的性质,得?x3dx??x3dx??x3dx???4?
?1?1044由于在区间[?1,0]上x?0,在区间[0,2]上x?0,所以定积分?x3dx等于位于x轴
33?12上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.
说明:在(3)中,由于x3在区间[?1,0]上是非正的,在区间[0,2]上是非负的,如果直接利用定义把区间[?1,2]分成n等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又有负项,而且无法抵挡一些项,求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分?x3dx?12化为?x3dx??x3dx,这样,x3在区间[?1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的,再
?1002利用定积分的定义,容易求出?xdx,?xdx,进而得到定积分?x3dx的值. 由此
?10?103232可见,利用定积分的性质可以化简运算.
在(2)(3)中,被积函数在积分区间上的函数值有正有负,通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B组(P50)
1、该物体在t?0到t?6(单位:s)之间走过的路程大约为145 m.
说明:根据定积分的几何意义,通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、(1)v?9.81t.
i118?9?88.29(m) (2)过剩近似值:?9.81???9.81??;
2242i?18
人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案 - 图文
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