增；
当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减.
当a?0，且b2?3ac?0时，
此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A组（P37）
1、设两段铁丝的长度分别为x，l?x，则这两个正方形的边长分别为
xl?x，，44xl?x21两个正方形的面积和为 S?f(x)?()2?()?(2x2?2lx?l2)，0?x?l.
4416l 令f?(x)?0，即4x?2l?0，x?.
2ll 当x?(0,)时，f?(x)?0；当x?(,l)时，f?(x)?0.
22l 因此，x?是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.
2l 所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
22、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去 四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为a?2x，高为x.
a （1）无盖方盒的容积V(x)?(a?2x)2x，0?x?.
2（2）因为V(x)?4x3?4ax2?a2x，
所以V?(x)?12x2?8ax?a2.
aa 令V?(x)?0，得x?（舍去），或x?.
26aaa 当x?(0,)时，V?(x)?0；当x?(,)时，V?(x)?0.
662a 因此，x?是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.
6a 所以，当x?时，无盖方盒的容积最大.
63、如图，设圆柱的高为h，底半径为R，
则表面积S?2?Rh?2?R2
V 由V??R2h，得h?.
?R2V2V2?2?R??2?R2，R?0. 因此，S(R)?2?R2?RRxa（第2题）
Rh2VV. ?4?R?0，解得R?3R2?V 当R?(0,3)时，S?(R)?0；
2?V当R?(3,??)时，S?(R)?0.
2?V 因此，R?3是函数S(R)的极小值点，也是最小值点. 此时，
2?VV3h??2?2R. 2?R2? 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
1n2n24、证明：由于f(x)??(x?ai)，所以f?(x)??(x?ai).
ni?1ni?11n 令f?(x)?0，得x??ai，
ni?11n 可以得到，x??ai是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.
ni?11n 这个结果说明，用n个数据的平均值?ai表示这个物体的长度是合理
ni?1 令S?(R)??的，
这就是最小二乘法的基本原理.
?x22x5、设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为m，半圆的面积为m，
82?x22a?x矩形的面积为a?m，矩形的另一边长为(?)m
8x8?x2a?x?2a8a因此铁丝的长为l(x)? ?x???(1?)x?，0?x?2x44x?2a8a?0，得（负值舍去）. x?4x24??8a8a8a当x?(0,)时，l?(x)?0；当x?(,)时，l?(x)?0.
4??4???8a因此，x?是函数l(x)的极小值点，也是最小值点.
4??8a所以，当底宽为m时，所用材料最省.
4??6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价. 令l?(x)?1??? 由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.
11 收入R?q?p?q(25?q)?25q?q2，
8811 利润L?R?C?(25q?q2)?(100?4q)??q2?21q?100，0?q?200.
881 求导得L???q?21
41 令L??0，即?q?21?0，q?84.
4 当q?(0,84)时，L??0；当q?(84,200)时，L??0； 因此，q?84是函数L的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84时，利润L最大,
习题1.4 B组（P37）
1、设每个房间每天的定价为x元，
x?1801那么宾馆利润L(x)?(50?)(x?20)??x2?70x?1360，180?x?680.
10101 令L?(x)??x?70?0，解得x?350.
5 当x?(180,350)时，L?(x)?0；当x?(350,680)时，L?(x)?0. 因此，x?350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x元／件时，
b?x45b利润L(x)?(x?a)(c?c?4)?c(x?a)(5?x)，a?x?.
4bb8c4ac?5bc4a?5b 令L?(x)??x?. ?0，解得x?8bb4a?5b4a?5b5b 当x?(a,)时，L?(x)?0；当x?(,)时，L?(x)?0.
8844a?5b 当x?是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.
84a?5b 所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
81．5定积分的概念
练习（P42） 8. 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）
ii1i121、?si??si??v()?t?[?()2?2]???()2???，i?1,2,nnnnnnnnni 于是 s???si???si???v()?t
ni?1i?1i?1,n.
i12??[?()2???]
nnni?111n?121n21??()2???()??()??2
nnnnnn1??3[1?22??n2]?2
n1n(n?1)(2n?1)??3??2
n6111??(1?)(1?)?2
3n2n 取极值，得
n1i1115 s?lim?[v()]?lim?[?(1?)(1?)?2]?
n??n??n3n2n3i?1ni?1nn说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.
222、km.
3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）
2?0x3dx?4. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意
义.
从几何上看，表示由曲线y?x3与直线x?0，x?2，y?0所围成的曲边梯形的面积S?4.
习题1.5 A组（P50）
i?11)?1]??0.495；
1100100i?15002i?11)?1]??0.499； （2）?(x?1)dx??[(1?1500500i?110002i?11)?1]??0.4995. （3）?(x?1)dx??[(1?110001000i?11、（1）?(x?1)dx??[(1?2100说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40（m）； 距离的过剩近似值为：27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67（m）. 3、证明：令f(x)?1. 用分点 a?x0?x1??xi?1?xi??xn?b
将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点
?i(i?1,2,,n)
作和式
?i?1nf(?i)?x??i?1nb?a?b?a， n 从而
?ba1dx?lim?n??i?1nb?a?b?a， n1说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，?01?x2dx表示由直线x?0，x?1，y?0以及曲线
y?1?x2所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1?2. 1?xdx??04015、（1）?x3dx??.
?14由于在区间[?1,0]上x3?0，所以定积分?x3dx表示由直线x?0，x??1，y?0和
?10曲线y?x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.
10111 （2）根据定积分的性质，得?x3dx??x3dx??x3dx????0.
?1?1044由于在区间[?1,0]上x3?0，在区间[0,1]上x3?0，所以定积分?x3dx等于位于x轴
?11上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.
202415 （3）根据定积分的性质，得?x3dx??x3dx??x3dx???4?
?1?1044由于在区间[?1,0]上x?0，在区间[0,2]上x?0，所以定积分?x3dx等于位于x轴
33?12上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.
说明：在（3）中，由于x3在区间[?1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[?1,2]分成n等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分?x3dx?12化为?x3dx??x3dx，这样，x3在区间[?1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的，再
?1002利用定积分的定义，容易求出?xdx，?xdx，进而得到定积分?x3dx的值. 由此
?10?103232可见，利用定积分的性质可以化简运算.
在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B组（P50）
1、该物体在t?0到t?6（单位：s）之间走过的路程大约为145 m.
说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）v?9.81t.
i118?9?88.29（m） （2）过剩近似值：?9.81???9.81??；
2242i?18
人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案 - 图文
