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第1课时 组合与组合数公式
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．
知识点一 组合的定义
思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘．
以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？
答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．
梳理 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 知识点二 组合数与组合数公式 组合数及组合数公式 组合数定义及表示 乘积组合数公式 形式 阶乘形式 性质 备注 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn表示. Cn＝mmn?n－1??n－2?…?n－m＋1? m！Cn＝mn！ m！?n－m?！Cn＝Cn mn－mCn＋1＝Cn＋Cn 规定Cn＝1
0mmm－11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C3.( × ) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C4个积．( √ ) 3．C5＝5×4×3＝60.( × ) 4．C2 017＝C2 017＝2 017.( √ )
2 016
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类型一 组合概念的理解 例1 给出下列问题：
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断
解 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．
反思与感悟 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？
(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？ 考点 组合的概念 题点 组合的判断
解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C5＝10.
(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A9＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C9＝36(种)．
类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C10－C7·A3； 考点 组合数公式
题点 利用组合数公式进行计算
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10×9×8×743
(1)解 原式＝C10－A7＝－7×6×5＝210－210＝0.
4×3×2×1(2)求证：Cn＝
mm＋1m＋1
Cn＋1. n＋1
考点 组合数公式 题点 组合数公式的应用 (2)证明 因为右边＝
mm＋1m＋1m＋1?n＋1?！n！mCn＋1＝·＝＝Cn， n＋1n＋1?m＋1?！?n－m?！m！?n－m?！
左边＝Cn，所以左边＝右边，所以原式成立．
Ann?n－1??n－2?…?n－m＋1?
反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C＝m＝计算．
Amm！
mnm(2)涉及字母的可以用阶乘式Cn＝
mn！
计算．
m！?n－m?！
(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①Cn＝Cn；②Cn＋1＝Cn＋Cn.
跟踪训练2 (1)计算C4＋C5＋C6＋…＋C2 017的值为( ) A．C2 017 C．C2 018－1
(2)计算C100＋C200＝________. 考点 组合数性质 题点 的性质计算与证明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C4＋C5＋C6＋…＋C2 017 ＝C4＋C4＋C5＋C6＋…＋C2 017－C4 ＝C5＋C5＋…＋C2 017－1＝… ＝C2 017＋C2 017－1＝C2 018－1. (2)C100＋C200＝C100＋C200 ＝
100×99
＋200＝5 150. 2
98
199
2
1
4
3
4
4
3
3
4
3
3
3
3
4
3
3
3
3
98
199
44
3
3
3
3
mn－mmmm－1
B．C2 017 D．C2 017－1
5
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命题角度2 含组合数的方程或不等式 117m5－m例3 (1)已知m－m＝m，求C8＋C8；
C5C610C7(2)解不等式Cn>Cn. 考点 组合数性质
题点 含有组合数的方程或不等式的问题 117
解 (1)∵m－m＝m，
C5C610C7∴即＝
4
6
m！?5－m?！m！?6－m?！7×?7－m?！m！
5！5！
－－6！
＝10×7！ ，
m！?5－m?！m！?6－m??5－m?！
6×5！
7×m！?7－m??6－m??5－m?！
.
10×7×6×5！
6－m?7－m??6－m?∴1－＝，
660
即m－23m＋42＝0，解得m＝2或21. ∵0≤m≤5，∴m＝2， ∴C8＋C8＝C8＋C8＝C9＝84.
m5－m2
3
3
2
n！n！??>，464！?n－4?！6！?n－6?！(2)由Cn>Cn，得?
??n≥6
??n－9n－10<0，
即?
?n≥6，?
*2
??－1 解得? ?n≥6，? 又n∈N，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}． 反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n∈N. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cn中的m∈N，n∈N，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意． 跟踪训练3 解方程3Cx－3＝5Ax－4. 考点 组合数性质 题点 含有组合数的方程或不等式的问题 解 原式可变形为3Cx－3＝5Ax－4， 即 3?x－3??x－4??x－5??x－6? 4×3×2×1 4 2 * m** x－72 ＝5(x－4)(x－5)， 金戈铁制卷 -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5. 所以x＝11或x＝－2(舍去)． 经检验符合题意，所以方程的解为x＝11. 类型三 简单的组合问题 例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法． 考点 组合的应用 题点 无限制条件的组合问题 答案 (1)45 (2)21 (3)90 解析 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C10＝ 2 10×9 ＝45(种)． 2×1 (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有C6种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C4种方法． 根据分类加法计算原理，共有C6＋C4＝15＋6＝21(种)不同选法． (3)从6名男教师中选2名的选法有C6种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C6×C4＝ 2 22 2 2 222 6×54×3 ×＝90(种)． 2×12×1 反思与感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． (2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． 跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 考点 组合的应用 题点 有限制条件的组合问题 解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C8＝ 3 8×7×6 ＝56. 3×2×1 2 (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C7＝ 金戈铁制卷
高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式学案 新人教A版选修2-3 (2)
