职高数学复习教案第一
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-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
目录
1.1集合的概念............................................................................................................................................................................................... 4
一、高考要求： ................................................................................................................................................................................ 4 二、知识要点： ................................................................................................................................................................................ 4 三、典型例题： ................................................................................................................................................................................ 4 四、归纳小结： ................................................................................................................................................................................ 5 五、基础知识训练： ........................................................................................................................................................................ 5
1.2集合的运算............................................................................................................................................................................................... 7
一、高考要求： ................................................................................................................................................................................ 7
1.3简易逻辑 ................................................................................................................................................................................................ 10 2.1不等式的性质与证明 ............................................................................................................................................................................. 11 2.2一次不等式和不等式组的解法 ............................................................................................................................................................. 15 2.3含有绝对值的不等式 ............................................................................................................................................................................. 19 2.4一元二次不等式的解法 ......................................................................................................................................................................... 20 2.5不等式的应用 ......................................................................................................................................................................................... 24 3.1映射与函数............................................................................................................................................................................................. 26 3.2函数的定义域、值域 ............................................................................................................................................................................. 29 3.3函数的图象............................................................................................................................................................................................. 33 3.4函数的单调性与奇偶性 ......................................................................................................................................................................... 35 3.5反函数 .................................................................................................................................................................................................... 39 3.6一元一次函数和一元二次函数的性质 .................................................................................................................................................. 42 3.7函数的应用............................................................................................................................................................................................. 45 4.1指数式与对数式 ..................................................................................................................................................................................... 48 4.2指数函数和对数函数 ............................................................................................................................................................................. 53 4.3抽象函数 ................................................................................................................................................................................................ 58 5.1向量的概念............................................................................................................................................................................................. 61 5.2向量的加法与减法运算 ......................................................................................................................................................................... 64 5.3 数乘向量 ................................................................................................................................................................................................. 67 5.4平行向量和轴上向量的坐标运算 ......................................................................................................................................................... 70 5.5向量的分解............................................................................................................................................................................................. 73 5.5向量的直角坐标 ..................................................................................................................................................................................... 76 5.6向量的长度和中点公式 ......................................................................................................................................................................... 79 5.7平移公式 ................................................................................................................................................................................................ 81 5.8向量的射影与内积 ................................................................................................................................................................................. 84 6.1数列的概念............................................................................................................................................................................................. 86 6.2等差数列 ................................................................................................................................................................................................ 90
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6.3等比数列 ................................................................................................................................................................................................ 94 6.4数列求和 ................................................................................................................................................................................................ 99 6.5数列的应用........................................................................................................................................................................................... 103 7.1角的概念推广及其度量 ....................................................................................................................................................................... 106 7.2任意角的三角函数 ............................................................................................................................................................................... 110 7.3同角三角函数的基本关系式 ............................................................................................................................................................... 114 7.4诱导公式 .............................................................................................................................................................................................. 116 7.5和角公式 .............................................................................................................................................................................................. 119 7.6倍角公式 .............................................................................................................................................................................................. 123 7.7三角函数中的化简与求值问题 ........................................................................................................................................................... 126 7.8三角函数的图象和性质 ....................................................................................................................................................................... 129 7.9三角函数中的求角问题 ....................................................................................................................................................................... 134 7.10解斜三角形......................................................................................................................................................................................... 137 8.1平面的基本性质 ................................................................................................................................................................................... 139 8.2直线与直线的位置关系 ....................................................................................................................................................................... 142 8.3直线与平面的位置关系 ....................................................................................................................................................................... 145 8.4平面和平面的位置关系 ....................................................................................................................................................................... 151 8.5翻折问题 .............................................................................................................................................................................................. 155 8.6空间图形性质的应用 ........................................................................................................................................................................... 157 8.7线段的定比分点 ................................................................................................................................................................................... 163 8.8两直线的平行和垂直 ........................................................................................................................................................................... 170 8.9两直线的夹角及点到直线的距离 ....................................................................................................................................................... 174 8.10圆 ........................................................................................................................................................................................................ 177 8.11椭圆 .................................................................................................................................................................................................... 182 8.12双曲线 ................................................................................................................................................................................................ 186 8.13抛物线 ................................................................................................................................................................................................ 191 8.14坐标轴的平移 ..................................................................................................................................................................................... 196 9.1排列 ...................................................................................................................................................................................................... 200 9.2组合 ...................................................................................................................................................................................................... 206 9.3排列、组合的应用 ............................................................................................................................................................................... 211 9.4二项式定理........................................................................................................................................................................................... 217 9.5随机事件 .............................................................................................................................................................................................. 221 9.6事件的概率........................................................................................................................................................................................... 224 9.7概率的加法公式 ................................................................................................................................................................................... 228 9.8概率的乘法公式 ................................................................................................................................................................................... 230 9.9独立重复试验 ....................................................................................................................................................................................... 234
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1.1集合的概念
一、高考要求：
1. 理解集合、空集、子集的概念；掌握用符号表示元素与集合的关系； 2. 掌握集合的表示方法.
二、知识要点：
1. 集合的概念:一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一对象叫元素;元素与集合间的关系用符号“∈”、“?”表示.常用到的数集有自然数集N（在自然数集内排除0的集合记作N+ 或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
2. 集合中元素的特征:
①确定性:a∈A和a?A,二者必居其一; ②互异性:若a∈A,b∈A,则a≠b;
③无序性: {a，b}和{b，a}表示同一个集合.
3. 集合的表示方法:列举法、性质描述法、图示法. 4. 集合的分类:
含有有限个元素的集合叫做有限集;含有无限个元素的集合叫做无限集;不含任
何元素的集合叫做空集,记作Φ. 5. 集合间的关系:用符号“?”或“?”、“?（）”或“?（）”、“=”表示.
子集:一般地,如果集合A的任一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A?B或B?A,读作A包含于B,或B包含A.即:A?B?x∈A?x∈B.
真子集:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作AB或BA.
等集:一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合A等于集合B,记作A=B.即:A=B?x∈A?x∈B.
三、典型例题：
例1:数集A满足条件:若a∈A,则有
1?a?A(a?1). 1?a(1) 已知2∈A,求证:在A中必定还有另外三个数,并求出这三个数; (2) 若a∈R,求证:A不可能是单元素集合.
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例2:已知集合A={a，a+d，a+2d},B={a，aq，aq2},若a,d,q∈R且A=B,求q的值.
例3:设A={x| x2+4x=0},B={x| x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1) 若B?A,求实数a的值; (2) 若A?B,求实数a的值.
四、归纳小结：
1. 任何一个集合A都是它本身的子集,即A?A;集合A不是集合B的子集,记作AB或BA.
2. 空集是任一集合的子集,是任一非空集合的真子集. 3. 对于集合A、B、C,如果A?B, B?C,则A?C; 如果AB, BC,则AC; 如果A?B, B?A,则A=B; 如果A=B, 则A?B, B?A. 4. 注意区别一些容易混淆的符号:
①∈与?的区别:∈是表示元素与集合之间的关系, ?是表示集合与集合之间的关系;
②a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合; ③{0}与Φ的区别:{0}表示含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列条件不能确定一个集合的是( )
A.小于100的质数的全体 B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体 C.充分接近3的所有实数的全体 D.身高不高于1.7m的人的全体 2. 下列命题中正确的是( )
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A. {4，5}和{5，4}是两个不同的集合 B.{x∈R| x2+x+1=0}是空集
C.若a∈N,b∈N*,则a+b的最小值为2 D.小于10的偶数集合是有限集 3. 集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是( ) A.32 B.31 C.16 D.15 4. 已知集合M={(0,1)},则( )
A.0∈M B.1∈M C.(0,1) ∈M D.(1,0) ∈M 5. 集合{0}与Φ的关系是( )
A.{0}=Φ B.Φ∈{0} C.{0}Φ D.Φ{0} 6. 设I为全集,集合A、B?I,A∪B=B,则( ) A.A?B B.A?B C.A?B D. A?B
7. 若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则A中实系数k的值为( ) A.1 B.0 C.0或1 D.以上答案都不对
8. 设P={x| x=n2+1,n∈N},M={x| x=m2-4m+5,m∈N},则集合P与M的关系是( ) A.P=M B.PM C.PM D.不同以上答案 9. 设I为全集,且Φ?A?B?I,下列集合中,一定为空集的是( ) A.A∩B B.A∪B C.A∩B D.A∩B
10. 设M、N是两个非空集合,则M∪N中的元素x应满足的条件是( ) A.x∈M或x∈N B.x∈M且x∈N C.x∈M但x?N D.x?M但x∈N （二）填空题：
11. 已知A={x | 1≤x＜4},B={x | x＜a},若AB,则实数a的取值集合为 . 12. 已知A={1，a，b},B={a，a2，ab},且A=B,则实数a= ,b= . 13. 若集合A有n个元素,则其子集个数为 .
14. 已知非空集合M满足:M?{1，2，3，4，5},且若x∈M,则6-x∈M,则满足条件的集合M的个数是 . （三）解答题：
15. 已知集合A={x| ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.
(1) 若A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素; (2) 若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
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1.2集合的运算
一、高考要求：
理解全集和补集的概念;掌握集合的交、并、补运算.
二、知识要点：
1. 交集:一般地,对于两个给定的集合A、B,由既属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A、B的交集,记作A∩B,读作A交B.即:A∩B?{x|x∈A且x∈B}. 2. 并集:一般地,对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素合并在一起构成的集合,叫做A、B的并集,记作A∪B,读作A并B.即:A∪B?{x|x∈A或x∈B}. 3. 补集:一般地,如果集合A是全集U的一个子集,由U中的所有不属于A的元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作CUA(或A),读作A在U中的补集.即:CUA= {x|x∈U且x?A}.
三、典型例题：
例1:已知集合A={1，3，- x3},B={1，x+2}.是否存在实数x,使得B∪(CUB)=A 实数x若存在,求出集合A和B;若不存在,请说明理由.
例2:若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.
(1)若A∩B=A∪B,求a的值;
(2)若ΦA∩B且A∩C=Φ,求a的值; (3)若A∩B=A∩C≠Φ,求a的值.
例3:某校先后举行数理化三科竞赛,学生中至少参加一科的:数学807人,物理739人,化学437人,至少参加两科的:数学与物理593人,数学与化学371人,物理与化学267人,三科都参加的有213人,试计算参加竞赛的学生总数.
四、归纳小结：
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1. 交集的性质:A∩A=A;A∩Φ=Φ;A∩B=B∩A;A∩B?A;A∩B?B;如果A?B,则A∩B=A. 2. 并集的性质:A∪A=A;A∪Φ=A;A∪B=B∪A;A?A∪B;B?A∪B;如果A?B,则A∪B=B. 3. 补集的性质:CAA=Φ;CA?=A;A∪CUA=U;A∩CUA=Φ;CU(CUA)?A;
CU(A?B)=CUA∪CUB;CU(A?B)=CUA∩CUB.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列说法正确的是( )
A.任何一个集合A必有两个子集 B.任何一个集合A必有一个真子集 C.A为任一集合,它与B的交集是空集,则A,B中至少有一个是空集 D.若集合A与B的交集是全集,则A,B都是全集
2. 设集合A={x| x2-6x+5＜0},B={x||x-4|≤2},则A∩B=( )
A.{x|1＜x≤6} B.{x|2≤x＜5} C.{x|2＜x≤5} D.{x|2≤x≤6}
3. 设集合A={x| x(x-1)=0,x∈R},B={x| x2+x-2=0,x∈R},则A∩B是( ) A.{0,1,2} B.{0} C.{1} D.{2}
4. 设集合A={(x,y)| 4x+y=6},B={(x,y)| 3x+2y=7},则集合A∩B是( ) A.{(1,2)} B.{1,2} C.{(2,1)} D.{(-1,-2)}
5. 集合A=?x|x?Z且?10?x??1?,B=?x|x?Z且|x|?5?,则A∪B中的元素个数( ) A.11 B.11 C.16 D.15
6. 设全集U=R,集合M={x| -3≤x＜2},P={x| x≥0},则CU(M?P)=( )
A.{x| 0≤x＜2} B.{x| x≥2} C.{x| x＜0或x≥2} D.{x| x≤0或x＞2}
7. 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8},A={3，4，5},B={1，3，6},那么集合
{2，7，8}是( ) A.A∪B B.A∩B C.A?B D.A?B
8. 已知集合A={a2，a+1，-3},B={a-3，2a-1，a2+1},若A∩B={-3},则实数a的值是
( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
9. 设全集为U,对任意子集合A,B,若AB,则下列集合为空集的是( ) A.A∩(CUB) B.(CUA)∩(CUB) C.(CUA)∩B D.A∩B
（二）填空题：
10. 设集合A={x|x+8＞0},B={x|x-3＜0},C={x|x2+5x-24＜0},(x∈R),则集合A、B、C的关系是 .
8
11. 设A={x||x-a|≤2},B={x|x2-6x+8≥0},且A∩B=Φ,则a的取值范围是 . 12. 已知A={x|-2≤x≤4},B={x|x＞a},若A∩B≠Φ,A∪B≠B,则a的取值范围是 . 13. 若集合A和集合B满足A∪B=A∩B,则A与B的关系是 .
14. 设M={x|x2-2x+p=0},N={x|x2+qx+r=0},且M∩N={-3},M∪N={2，-3，5},则实数p= ,q= ,r= .
15. 已知集合A={1，2，3，x},B={x2，3},且A∪B=A,试求x的值.
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1.3简易逻辑
一、高考要求：
理解推出、充分条件、必要条件和充要条件.
二、知识要点：
1. 推出:①如果p,则q(真命题);②p?q;③p是q的充分条件;④q是p的必要条件.
这四句话表述的是同一逻辑关系.
2. 充要条件:①p?q;②p是q的充要条件;③q当且仅当p;④p与q等价. 这四句话表述的是同一逻辑关系.
三、典型例题：
例:甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,则丁是甲的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
四、归纳小结：
1. 命题联结词中,“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;“p且q”形式复合命题当p与q同时为真时为真,其它情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同时为假时为假,其它情况时为真.
2. 符号“?”叫作推断符号,符号“?”叫作等价符号.
五、基础知识训练：
1. 在下列命题中,是真命题的是( )
A.x＞y和|x|＞|y|互为充要条件 B.x＞y和x2＞y2互为充要条件
1111C.a2＞b2 (b≠0)和2?2互为充要条件D.?a??b和4a＞3b互为充要条件
34ab2. 设A={x|x具有性质p},B={x|x具有性质q},则下列每组命题不等价的是( ) A.A∩B和“p且q” B.A∪B和“p或q” C.A?B和“p?q” D.A=B和“p?q” 3. 如果命题p、q都是真命题,在下列命题中: ①p∨q ②p∧q ③p?q ④p?q ⑤p?q ⑥p?q真命题的个数是（） A.1 B.2 C.4 D.6
114. “a＜b＜0”是“?”成立的( )
abA.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件
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5. “A∩B=A”是“A=B”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件
2.1不等式的性质与证明
一、高考要求：
掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用.
二、知识要点：
1. 实数大小的基本性质: a-b＞0?a＞b; a-b=0?a=b; a-b＜0?a＜b. 2. 不等式的性质:
(1)传递性:如果a＞b,b＞c,则a＞c;如果a＜b,b＜c,则a＜c; (2)加法法则:如果a＞b,则a+c＞b+c;如果a＞b,则a-c＞b-c;
(3)乘法法则:如果a＞b,c＞0,则ac＞bc;如果a＞b,c＜0,则ac＜bc; (4)移项法则:如果a+b＞c,则a＞c-b;
(5)同向不等式的加法法则:如果a＞b且c＞d,则a+c＞b+d;如果a＜b且c＜d,则a+c＜b+d;
(6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a＞b＞0,且c＞d＞0,则ac＞bd. 3. 几个拓展的性质: a＞b＞0?an＞bn(n∈N,n＞1);
a＞b＞0?na＞nb(n∈N,n＞1);
a＞b且c＞d ?a-d＞b-c; a＞b＞0,且c＞d＞0? a＞b＞0(或0＞a＞b)?11?; abab?; dc4. 重要不等式: (1) 整式形式: a2+b2≥2ab（a、b∈R）; a2+b2+c2≥3abc（a、b、c∈R+）;
?a?b??a?b?c? ab≤??(a、b∈R); abc≤??(a、b、c∈R+);
3?2???11
23a?ba?b?c3≥ab(a、b∈R+); ≥abc(a、b、c∈R+); 23babca(3) 分式形式:?≥2（a、b同号）; ??≥3（a、b、c同号）;
ababc11(4) 倒数形式:a?≥2（a∈R+）; a?≤-2（a∈R-）.
aa(2) 根式形式:
三、典型例题：
1111?;③?中不能成立的个数是( ) aba?ba A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:
例1:已知a＞b,则不等式①a2＞b2;②
22?a?b?a?b(1)对?实数a、b,求证:?; ?≤
22??2(2)求证:对?正实数a、b、c,a+b+c≥ab?bc?ca; (3)若p＞0,q＞0,p3+q3=2,试用反证法证明p+q≤2;
(4)对?实数x、y,求证:x2+xy+y2≥0;
11(5)对?实数a、b∈R+,且a+b=1,求证:(1?)(1?)≥9.
ab
四、归纳小结：
1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.
2.不等式证明的常用方法:
(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差?变形?判断符号;
(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和
已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B;
(3)反证法的步骤:假设?推理?矛盾?原命题成立;
3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧.
五、基础知识训练：
12
（一）选择题： 6. 在下列命题中,是真命题的是( )
A.x＞y和|x|＞|y|互为充要条件 B.x＞y和x2＞y2互为充要条件
1111C.a2＞b2 (b≠0)和2?2互为充要条件 D.?a??b和4a＞3b互为充要条件
34ab7. 已知a＞b,c∈R,由此能推出下列不等式成立的是( ) A.a+c＞b-c B.ac＞bc C.ac2＞bc2 D.a?2c＞b?2c 8.
如果ab＞0且a＞b,则有( )
1111A.＞ B.＜ C.a2＞b2 D.a2＜b2 abab119. “a＜b＜0”是“＞”成立的( )
abA.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件 D.既不充分又不必要条件
ab10. 不等式??2成立的充要条件是( )
baA.ab＞0且a≠b B.ab≠0且a≠b C.a＞0,b＞0且a≠b D.a≠1且b≠1
111. 已知x＞2,则函数y?x?的最小值是( )
x?2A.4 B.3 C.2 D.1
12. 不等式①a2+2＞2a;②a2+b2＞2(a-b-1);③(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
13. 若实数a、b、c满足b+c=3a2-4a+6，b-c=a2-4a+4,则a、b、c的大小关系是( )
A.b≥c＞a B.b＞c＞a C.b＜c＜a D.b＜c≤a
14. 若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A.f(x)＞g(x) B.f(x)=g(x) C.f(x)＜g(x) D.随x值变化而变化 15. 若a≠2或b≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b的值与-5的大小关系是( ) A.M＞-5 B.M＜-5 C.M=-5 D.不能确定 16. 已知0＜a＜1,则a、a?a、aa的大小关系是( )
A.a＞a＞a B.a＞a＞a C.a＞a＞a D.a＞a＞aa 17. 已知a＜b＜0,则下列不等式中不能成立的是( )
1111? A.a2＞b2 B.a?b C. ? D.
aba?ba13
1aa?a?aa1a1aa1a?a?a1a18. 设a、b是不相等的正数,则( )
a?bA.?ab?2a2?b2a?ba2?b2 B.ab? ?222a2?b2a?ba2?b2a?bC.ab? D. ??ab?222219. 若0＜x＜1,0＜y＜1,且x≠y,而x2+y2,x+y,2xy,2xy中最大的一个是( ) A.2xy B.x+y C.2xy D.x2+y2
22a2?b2?a?b?a?b20. 若a、b为非零实数,则在①≥ab；②?；?≤
22?2?2a?babba≥；④?≥2中，恒成立的个数是( ) 2a?babA.4个 B.3个 C.2个 D.1个 21. 设正数a,b满足ab=4,则2a+3b的最小值是( )
③
A.12 B.10 C.46 D.43 22. 设a,b∈R且a+b=3,则2a?2b的最小值是( ) A.6 B.8 C.42 D.22
23. 若实数x,y满足方程x+y-4=0,则x2+y2的最小值是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 24. 令0＜a＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( )
1A. B.a C.2ab D.a2+b2
225. 设a、b是两实数,给出下列条件:①a+b＞1；②a+b=2；③a+b＞2；④a2+b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一个数大于1”的条件是( ) A.②③ B.①②③ C.③④⑤ D.③
1x2?2x2?526. 下列命题中,(1)x?的最小值是2；(2)的最小值是2；(3)的
22xx?1x?44的最小值是2.正确命题的个数是( ) xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个
最小值是2；(4)2?3x?14
（二）填空题： 27. 若x＞y且a＞b,则在“①a-x＞b-y； ②a+x＞b+y； ③ax＞by；④x-b＞y-a； ⑤
ab?”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . yxcd??；③bc＞ad.以其中两个作为条件,余下ab的一个作为结论,则可以组成 个正确的命题. 29. 以下四个不等式: ①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a.其中使
11?成立的充分条件有 . ab430. 已知x＞0,函数y?2?3x?的最大值是 . x231. 已知函数y?x2?,(x＞0),则y的最小值是 . x
28. 已知三个不等式: ①ab＞0；②?2.2一次不等式和不等式组的解法
一、高考要求：
熟练求不等式组的解集.
二、知识要点：
1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形. 2. 一次不等式ax＞b(a≠0)的解法:
bb当a＞0时,解集是{xx?},用区间表示为(,+∞);
aabb当a＜0时,解集是{xx?},用区间表示为(-∞,).
aa3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集.
三、典型例题：
例1:解下列不等式(组):
15
?(x2?1)(x?3)?0(1) (x-3)(x-4)≥0. (2) ?.
?3x?4?5x?62
四、归纳小结：
一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m的取值范围是( ) A.m＜-2 B.m≤-4 C.m＞-5 D.-5＜m≤-4
2. 已知方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m的取值范围是( )
1111A.m＜? B.m＞? C.m≥? D.m＞?且m≠0
4444（三）解答题： 解不等式(组): (1)
22(x-2)≤x- (2)55?x?1?0??2x?5?0?3x?6?0?16
2.2分式不等式的解法
一、高考要求：
会解线性分式不等式:
ax?bax?b?0或?0(c?0). cx?dcx?d二、知识要点：
在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一
ax?bax?b般形式为:?0或?0(c?0),不等号也可以是“≥”或“≤”.
cx?dcx?d三、典型例题：
例:解不等式:
x?3x?5. ?x?2x?1四、归纳小结：
1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法. 2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法.
注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
111. 满足?2与??3的x适合的条件是( )
xx111111 A.?x? B. x? C. x?? D. x?或x??
322323x?42. 下列不等式中与≥0同解的是( )
3?x3?x A.(x-4)(3-x)≥0 B.≥0 C.Ig(x?3)≤0 D.(x-4)(3-x)＞0
x?42x?1?1的解集是( ) 3. 不等式
x?217
A.{x|0≤x＜3} B.{x|-2＜x＜3} C.{x|-6≤x＜3} D.{x|x＜-3或x＞2}
x?34. 不等式2＜0的解集是( )
x?2x?1 A.{x|x＜3} B.{x|1＜x＜3} C.{x|x＜3或x≠1} D.{x|x＜3且x≠1}
(x?3)2(x?1)5. 不等式≤0的解集是( )
x?2 A.{x|1≤x＜2} B.{x|1＜x＜2或x=-3} C.{x|1≤x＜2或x=-3} D.{x|1≤x≤2或x=-3}
(x?a)(x?b)6. 设a＞b＞c,则不等式≥0的解集是( )
x?c A.(-∞,c)∪[b,a) B.(c,b]∪[a,+∞) C.(c,b]∪(b,a] D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题：
2x?17. 不等式?1的解集是 .
x?3(x?1)2(x?2)8. 不等式2≥0的解集是 . (x?4)(3?x)x?a≥0的解集为{x|-3＜x＜-1或x≥2},则a= . x2?4x?3（三）解答题： 10. 解下列不等式:
21(1) ?x?1 (2) 0?x??1
xx
9. 若不等式
18
2.3含有绝对值的不等式
一、高考要求：
熟练求绝对值不等式的解集.
二、知识要点：
1. |x-a|(a≥0)的几何意义是x在数轴上的对应点到a的对应点之间的距离.
2. 不等式|x|≤a(a＞0)的解集是{x|-a≤x≤a};不等式|x|＞a(a＞0)的解集是{x|x＜-a或x＞a}.
3. 不等式|ax+b|＜c(c＞0)的解集是{x|-c＜ax+b＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c＞0)的解集是{x|ax+b＜-c或ax+b＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集.
三、典型例题：
例:解下列不等式:
(1) |x2-3x|＞4 (2) 1≤|2x-1|＜5 (3) x+|x-1|＜2
四、归纳小结：
解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a、|x|＞a (a＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 不等式|x-2|＞1的解集是( )
A.(1,3) B.(3,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )
777A.(-1,) B.(,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(,+∞)
33313. 不等式|2-3x|≤的解集是( )
215151515A.{x|＜x＜} B. {x|x＜或x＞} C. {x|x≤或x≥} D. {x|≤x≤}
262626264. 已知A={xx?2≥5},B={x3?x＜2},则A∪B等于( ) A.{x|x≤7或x＞1} B.{x| -7≤x＜1}
19
C.{x|x∈R} D.{x|x≤7或x≥3}
5. 已知A={xx?2＜3},B={xx?1＞1},则A∩B等于( ) A.{x|x＜0或x＞2} B.{x| -1＜x＜5}
C.{x|-1＜x＜0} D.{x|-1＜x＜0或2＜x＜5} （二）填空题：
a= . b7. 若{x||a-2x|＞b,b＞0}={x|x＜-5或x＞4},则a2+b= .
88. 若x∈Z,则不等式x?2?的解集是 .
3（三）解答题：
9. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C?[(A∪B)∩Z]；(2)C中有三个元素；(3)C∪B≠Φ. 10. 解下列不等式:
6. 若不等式|x-a|＜b的解集为{x|-3＜x＜9},则log2 (1) 3＜2x?
2x?3≤7 (2)≥1
2x?132.4一元二次不等式的解法
一、高考要求：
熟练求一元二次不等式的解集.
二、知识要点：
一元二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对比表如
下： △=0 判别式△=b2-4ac △＞0 △＜0 一元二次函数y=ax2+bx+c(a＞0) 的图象 一元二次方程有两相异实根 有两相等实根没有实根 20
ax2+bx+c=0(a≠0)的根 一元ax2+bx+c＞0 二次(a＞0) 不等2式的ax+bx+c＜0 (a＞0) 解集 ?b?b2?4acx1,2? 2a(x1＜x2) xx?x1或x?x2 x1?x2??b 2ab} 2a??即两根之外 {x?Rx??实数集R Φ ?xx1?x?x2? 即两根之间 Φ 三、典型例题：
例1:求下列不等式的解集:
(1)2x+3-x2＞0； (2)x(x+2)-1≥x(3-x)；
(3)x2-23x+3＞0； (4)x2+6(x+3)＞3； (5)3x2+5≤3x.
例2:m是什么实数时,方程(m-1)x2-mx+m=0 有两个不相等的实数根?
例3:已知ax2+2x+c＞0的解集为
21
11?x?,试求a、c的值, 32并解不等式-cx2+2x-a＞0. ?四、归纳小结：
解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. (97高职-1)不等式x2+2x+1＞0
的解集是( )
A.Φ B.R C.{x|x= -1} D.{x|x≠-1,x∈R} 2. 不等式(x2-4x-5)(x2+8)＜0的解集是( ) A.{x|-1＜x＜5} B.{x|x＜-1或x＞5} C.{x|0＜x＜5} D.{x|-1＜x＜0} 3. 不等式ax2+2x+c＞0(a≠0)的 4. 解集是空集的充要条件是( ) A.a＜0且b2-4ac＞0 B.a＜0且b2-4ac＜0 C.a＜0且b2-4ac≥0 D.a＜0且b2-4ac≤0
5. 下列不等式中,解集是空集
的不等式是( ) A.4x2-20x+25＞0 B.2x2-43x+6≤0
C.3x2-3x+1＞0 D.2x2-2x+1＜0
6. 若x2-mx+1＜0,则实系数m的取值范围为( )
A.m＞2或m＜-2 B.-2＜m＜2 C.m≠±2 D.m∈R
22
7. 若ax2+5x+c＞0的解集是
{x11?x?},则a+c的值为( ) 32 A.7 B.5 C.-5 D.-7
（二）填空题：
8. 已知不等式x2+bx+c＞0的解集为
{x|x＜?3或x＞2},则b= ，c= . 9. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0 对任意x∈R都成立,则实系数m的 取值范围为 . （三）解答题：
10. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x∈R}, B={x|1-|x-a|＞0, x,a∈R},A∩B=Φ, 求a的取值范围. 11. 不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解是 全体实数,求实数a的取值范围. 12. 若函数y=x2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k的取值范围. 13. 若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0
的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.
23
2.5不等式的应用
一、高考要求：
了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.
二、知识要点：
列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.
三、典型例题：
例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.
(1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值) (2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.
例2:某种商品,现在定价每件p元,每月售货卖出n件,因而现在每月售货总金额为np元.设定价上涨x成,卖出数量减少y成,售货总金额变成现在的z倍.
(1) 用x和y表示z;
(2) 设y=kx,其中k是满足0＜k＜1的常数,利用k来表示当售货总金额最大时的x值;
2(3) 若y?x,求使售货总金额有所增加时的x的范围.
324
四、归纳小结：
应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )
a?ba?ba?ba?bA.x= B.x≤ C.x＞ D.x≥
2222（二）填空题：
2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/
x2时)之间的关系是S?0.05x?,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大
200于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).
3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 . （三）解答题：
4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?
25
5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?
3.1映射与函数
一、高考要求：
理解映射与函数的概念;会求函数的解析式.
二、知识要点：
1. 映射的概念:设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A内任一个元素x,在B中总有一个且只有一个元素y与x对应,则称f是集合A到B的映射;称y是x在映射f作用下的象,记作f(x).于是y?f(x);x称做y的原象.映射f可记为:
f:A→B,
x|→f(x).
其中,A叫做映射f的定义域,由所有象f(x)所构成的集合叫做f的值域. 2. 如果A、B都是非空数集,那么A到B的映射f,叫做A到B的函数.其中A叫做函数f的定义域.函数f在x?a的函数值,记作f(a),函数值的全体构成的集合C(C?B),叫做函数的值域.
(1) 函数的两要素:定义域、对应法则.一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就随之确定.
两个函数是相同的函数的充要条件是它们的定义域与对应法则分别相同. (2) 函数的表示方法:常用的有列表法、图象法和解析法.
三、典型例题：
26
例1:已知映射f:A→B,其中集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
例2:已知集合A={1，2，3，a},B={4，7，b4，b2+3b},其中a∈N*，b∈N*.若x∈A，y∈B,映射f:A→B使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a和b的值.
例3:(1)已知f(x)?11,求f(x?1),f(). 1?xx(2)已知f(2x?1)?x2?2x,求f(x).
四、归纳小结：
1. 映射是一种特殊的对应.
(1) 映射f:A→B是由集合A、B以及从A到B的对应法则所确定. (2) 映射f:A→B中的两个集合A、B可以是数集,也可以是点集或其他集合.再者,集合A、B可以是同一个集合.
(3) 集合A到集合B的映射f:A→B与集合B到集合A的映射f:B→A,一般来说是不同的.换言之,映射涉及的两个集合有先后次序.
(4) 在映射f:A→B之下,集合A中的任一元素在集合B中都有象,且象是唯一的(简括之:“都有象;象唯一”).
27
(5) 给定映射f:A→B,集合B中的元素在集合A中可能有一个原象,可能有两个或多个原象,也可能没有原象.
(6) 如果对于A中的不同元素在集合B中有不同的象,且B中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B的一一映射.一一映射是一种特殊的映射,若设映射f:A→B的象集为C,则C?B.C=B是映射f:A→B构成一一映射
的必要条件.
2. 函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射. 3. 求函数解析式的常用方法:
(1) 当已知表达式较简单时,可直接用凑合法求解; (2) 若已知函数的结构,则可用待定系数法求解;
(3) 若已知表达式f[g(x)],则常用换元法求解f(x); (4) 消去法:已知表达式f[g(x)],求f(a)时,可不必先求f(x).
五、基础知识训练：
（一）选择题：
16. 在映射f:A→B中,下列判断正确的是( )
A.A中的任一元素在B中都有象,但不一定唯一
B.B中的某些元素在A中可能有多个原象,也可能没有原象 C.集合A和B一定是数集
D.记号f:A→B与f: B→A的含义是一样的 17. 已知四个从集合A到集合B的对应(如图),
那么集合A到集合B的映射是( )
A.④ B.①和④ C.②和④ D.③和④
18. 如果x在映射f:R→R下的象是x2-1,那么3在f下的原象是( ) A.2 B.-2 C.2和-2 D.8
28
19. 集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不表示从P到Q的函数是( )
112 A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D. f:x→y=x
23320. 下列每一组中的函数f(x)和g(x),表示同一个函数的是( ) A.f(x)?x;g(x)?(x)2 B.f(x)?x;g(x)?(3x)3 C.f(x)?1;g(x)?x D.f(x)?1;g(x)?x0 x21. (2003高职-11)已知函数f(x?1)?x2?2x?2,则f(x)的解析表达式为( ) A.(x?1)2 B.x2?1 C.x2?1 D.(x?1)2 22. 已知函数f(x?1)?3x?1,则f(x)=( )
A.3x-1 B.3x C.3x+1 D.3x+2
cx323. 函数f(x)?(x??),满足f(f(x))?x,则c等于( )
2x?32 A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3 （二）填空题：
24. 集合A、B是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A到B的映射
f:{(x,y)}→{(x2+y2,xy)},则象(5,2)的原象是 . 25. 从集合A={a,b}到集合B{x,y}的映射有 个.
26. 设函数f(x)=[x], (x∈R),其中符号[x]表示不大于x的最大整数,则
f(?4.8)= . （三）解答题： 27. 已知正方形ABCD的边长为10,一动点P从点A出发沿正方形的边运动,路线是A→B
→C→D→A,设点P经过的路程为x,设AP2=y,试写出y关于x的函数.
3.2函数的定义域、值域
一、高考要求：
29
掌握函数的定义域、值域的求解.
二、知识要点：
函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射,如果A、B都是非空数集,那么A到B的映射f:A→B称为A到B的函数.其中原象的集合(自变量的取值集合)A叫做函数的定义域.象的集合(函数值的集合)C(C?B)称为函数的值域.
三、典型例题：
例1;求下列函数的定义域:
3x?x23x?22?3x?1 (1)y=-2x+3x-1; (2)y?2; (3)y?2x?x; (4)y?x?1?1x?42
例2:求下列函数的值域;
(1)y?x?1; (2) y=-2x2+4x-1; (3)y?x?3?x?5; (4)y?
1. 22x?3x?1四、归纳小结：
(一)求函数的定义域(自变量的取值范围)常常归结为解不等式或不等式组,常有以下几种情况:
1. 一个函数如果是用解析式给出的,那么这个函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值集合,具体来说有以下几种:
(1) f(x)是整式或奇次根式时,定义域为实数集;
(2) f(x)是分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;
(3) f(x)是二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方式非负的实数的集合; (4) f(x)是对数函数的,要考虑对数的意义.
30
2. 如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.
3. 由实际问题建立的函数,除了考虑解析式本身有意义外,还要考虑是否符合实际问题的要求.
(二)求函数的值域的基本方法是分析法,为分析问题方便起见,常常对函数解析式作些恒等变形.求函数值域的常用方法有:
(1) 配方法:利用二次函数的配方法求函数的值域要注意自变量的取值范围; (2) 判别式法:利用二次函数的判别式法求函数的值域要避免“误判”和“漏判”; (3) 图象法:根据函数的图象,利用数形结合的方法来求函数的值域.
(4) 反函数法:如果函数有反函数,那么求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
2x?x21. 函数y?的定义域是( )
lg(2x?1)A.(1,1)?(1,2] B.(1,2] C.?0,1???1,2? D.?0,2?
222. 函数y?x??x的定义域为( )
A.???,0? B.?0,??? C.(-∞,+∞) D.{0} 3. 函数y?1的定义域为( ) 11?xA.x＞0 B.x＞0或x≤-1 C. x＞0或x＜-1 D.0＜x＜1 4. 函数f(x)?x2?5x?6的定义域为( )
x?2A.{x|2＜x＜3} B.{x|x＞3或x＜2} C.{x|x≤2或x≥3} D. {x|x＜2或x≥3}
x?15. 函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数f()的定义域为( )
x211A.(?,0) B.[,+∞) C.[?,+∞) D.(0,+∞)
3336. (当x??1,4?时,函数y?2x2?8x?7的值域是( ) A.[1,7] B.[-1,1] C.[-1,7] D.??1,???
31
7. 函数y??x2?2x?3(-5≤x≤0)的值域是( )
A.???,4? B.[3,12] C.[-12,4] D.[4,12] 8. 若f[g(x)]?6x?3,且g(x)?2x?1,则f(x)=( ) A.3 B.3x C.3(2x+1) D.6x+1 （二）填空题：
9. (函数y?log2(x2?5x?6)?x2?4的定义域为(用集合表示) . 4的定义域为 . x?3111. 函数y?x?3?的定义域为 . 1x(2)?410. 函数y?lg(3x?6)?12. 已知函数f(x)的定义域是[0,1],则函数f(x2)的定义域是 . 13. y=x2-5x+6(-3≤x≤2)的值域是 . 14. 已知函数f(x)?2x?3,x∈{0，1，2，3，4，5},则函数f(x)的值域是 . 15. 函数y?x2?x?2的定义域为A,函数y?A∪B= .
x?2的定义域为B,则A∩B= , 1?x32
3.3函数的图象
一、高考要求：
会用描点法作函数的图象.
二、知识要点：
函数图象是函数的一种表示形式,它反映了从“图形”方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质,也可以帮助我们掌握各类函数的基本性质.函数的图象可能是一条光滑的直线,也可能是曲线或折线或其中的一部分,还可能是一些间断点.描点法是作函数图象的基本方法.
三、典型例题：
例1:画出下列各函数的图象:
(1)y=1-x(x∈Z); (2)y=|x-1|; (3)y=2x2-4x-3(0≤x＜3); (4)y=x3.
例2:ABCD是一个等腰梯形,下底AB=10,上底CD=4,两腰AD=BC=5,设动点P由B点沿梯形各边经C、D运动到A点,试写出△PAB的面积S与P点所行路程x之间的函数关系式,并画出其图象.
四、归纳小结：
1. 画函数的图象(草图)的一般步骤是:
(1) 确定函数的定义域;
(2) 化简函数的解析式(如含有绝对值的函数化为分段函数); (3) 利用基本函数画出所需的图象.
2. 利用描点法画函数的图象时要注意根据具体函数进行分析:如何取点,取多少点.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 函数y?f(x)的图象与直线x?a的交点个数是( )
33
A.有一个 B.至少有一个 C.至多有一个 D.有一个或两个 2. 已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象如右图,则( )
A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞) （二）填空题：
5x?23. 函数y?的图象关于点 对称.
x?14. 方程lgx=sinx的实数解的个数是 . （三）解答题：
5. 已知等边三角形OAB的边长为2,直线?⊥OA, ?截这个三角形所得的图形位于
?的左方(图中阴影部分)的面积为y,O到?的距离为x(0≤x≤2).
(1) 求出函数y?f(x)的解析式(8分); (2) 画出y?f(x)的图象(4分).
34
3.4函数的单调性与奇偶性
一、高考要求：
理解函数的单调性与奇偶性.
二、知识要点：
1. 已知函数f(x),在给定的区间上,任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),记?x?x2?x1,
?y?f(x2)?f(x1)?y2?y1.当
?y?0时,函数y?f(x)在这个区间上是增函数;当?x?y?0时,函数y?f(x)在这个区间上是减函数.如果一个函数在某个区间上是增?x函数或是减函数,就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.
2. 如果对于函数y?f(x)的定义域A内的任一个x,都有f(?x)??f(x),则这个函数叫做奇函数;如果对于函数y?f(x)的定义域A内的任一个x,都有
f(?x)?f(x),则这个函数叫做偶函数.
一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;
一个函数是偶函数的充要条件是,它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形.
三、典型例题：
例1:已知函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在区间(??,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
例2:判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)?x2?1?1?x2; (2)f(x)?(x?1)1?x; 1?x?x(1?x)(x?0)1?x2(3)f(x)??; (4)f(x)?.
x?2?xx(1?x)(x?0)?35
例3:已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件: (1)f(x)是奇函数;(2)f(x)在定义域内单调递减;(3)f(1?a)?f(1?a2)?0.求实数a的取值范围.
例4:已知奇函数f(x)在[-b,-a](a＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是增函数还是减函数为什么
四、归纳小结：
1. 根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是:
(1) 设x1、x2是给定区间内的任意两个值,且x1?x2,即?x?x1?x2?0; (2) 作差?y?f(x1)?f(x2),并将此差化简、变形; (3) 判断?y?f(x1)?f(x2)的符号,从而证得函数得增减性. 2. 判断函数奇偶性的步骤:
(1) 考查函数的定义域是否关于原点对称;
(2) 判断f(?x)??f(x)(变通式为f(?x)?f(x)?0)之一是否成立.
36
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知函数①f(x)??x;②f(x)?(x?1)(x?1);③f(x)?x?x;
221;⑤f(x)?2x?3x.其中为偶函数的是( ) 2x?1A.①②③ B.①②④ C.①④⑤ D.②④⑤
④f(x)?2. 奇函数y?f(x)(x∈R)的图象必过点( )
A.(a,f(?a)) B.(-a,f(a)) C.(-a,f(?a)) D.(a,f(1)) a3. 下列函数中,在(-∞,0)内是减函数的是( )
A.y=1-x2 B.y=x2+2 C.y?x?2 D.y?4. 对任意奇函数f(x)(x∈R)都有( )
x x?1A.f(x)?f(?x)＞0 B.f(x)?f(?x)≤0 C.f(x)?f(?x)≤0 D.f(x)?f(?x)＞0
5. 下列函数在定义域内既是奇函数,又是单调增函数的是( )
A.y?tanx B.y?3 C.y?log3x D.y?x
6. 设函数f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则f(x)在(-∞,0)上是( )
x13A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数
327. 已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0)是偶函数,那么g(x)?ax?bx?cx是( )
2A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
8. 如果奇函数在(0,+∞)上是增函数,那么f(x)在(-∞,0)上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.既可能是增函数,又可能是减函数 D.不一定具有单调性
x9. 已知y?f(x)为偶函数,当x?0时, y?2;当x?0,函数表达式为( )
2xy?x)A.y??2x B.y?log2x C.y?(1 D. 237
210. 函数f(x)?2x?mx?3,当x∈??2,???时是增函数,当x∈???,?2?时是减函数,
则f(1)等于( )
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数 （二）填空题：
211. 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)?g(x)?x?2x?3,则
f(x)?g(x)? . 2212. 定义在R上的偶函数f(x),在区间(-∞,0)上单调递增,且f(?a?1)?f(?2a).
则实数a的取值范围是 .
13. 已知偶函数f(x)在[-b,-a](a＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是 . （三）解答题：
14. 定义在[-2,2]上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)单调递减,若f(1?m)?f(m)成立,
求m的取值范围.
ax2?115. 设函数f(x)?是奇函数(a、b、c∈Z),且f(1)=2,f(2)＜3.
bx?c(1) 求a、b、c的值;
(2) 判断并证明f(x)在[1,??)上的单调性.
38
3.5反函数
一、高考要求：
理解反函数的概念,掌握反函数的求法,能利用互为反函数间的关系解决相关问题.
二、知识要点：
1. 反函数的定义:一般地,在函数y?f(x)中,设它的定义域为A,值域为C,如果对C中的每一个元素y,都有A中唯一确定的元素x与之对应,即x是y的函数,并表示为x?g(y),那么x?g(y)称为函数y?f(x)的反函数.函数y?f(x)的反函数,也常用y?f?1(x)表示.
互为反函数的定义域和值域的关系如下表所示: 函数 定义域 值域 函数y?f(x) A C 函数y?f?1(x) 2. 互为反函数的函数图象间的关系: C ?1A (x)的图象关于直线y=x对称.
一般地,有函数y?f(x)与它的反函数y?f三、典型例题：
例1:求下列函数的反函数:
6x?5(1)y?; (2)y?x2?1(x≤-1)
x?1
x?a3x?1例2:函数y?(a,b,c为常数)的反函数是y?,求a,b,c的值.
bx?c2x?1
39
四、归纳小结：
1. 求反函数的步骤:
(1) 由y?f(x)解出x?g(y),并判断x?g(y)是否满足函数定义; (2) 交换x，y得f?1(x)?g(x);
?1(3) 根据y?f(x)的值域,写出y?f(x)的定义域.
2. 反函数存在的条件:从定义域到值域构成一一映射关系.
3. 原函数为奇函数,则反函数也一定为奇函数,但奇函数未必都存在反函数.偶函数一般不存在反函数.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知命题: 正确命题的个数是( )
(1) 任何一个函数都有反函数;
(2) 函数f?1(x)的定义域是其反函数f(x)的值域;
(3) f(x)与g(x)互为反函数,若f(0)=2000,则g(2000)=0;
1x关于直线y=x对称. 2 A.4 B.3 C.2 D.1
2?x2. 已知函数f(x)?,且f?1(x0)?1,则x0的值是( )
3x?1314 A. B. C. D.2
4232x?13. 函数f(x)?的反函数恰是f(x)本身,则实数a的值是( )
x?a A.-1 B.1 C.-2 D.2
32x?14. 已知f(x)?(x∈R,x≠?),则f?1(?2)的值为( )
44x?35225 A.? B.? C. D.
65511ax?bx?25. 函数y?(a≠bc)的反函数是y?,求a,b,c的值依次是( )
cx?13x?1 A.1,-2,-3 B.-1,2,3 C.-1,2,-3 D.1,2,3
(4) 直线y=2x与直线y=
40
6. 函数y?x2?2x?3(x≤1)的反函数的定义域是( ) A.[2,4] B.[-4,4] C.(??,1] D.[2,??) （二）填空题：
7. 函数y?x?1的反函数是 . 8. 已知f(x)?9. 函数f(x)?2(x＜-1),则f21?x?12(?)的值为 . 3ax?b的反函数恰是f(x)本身,则实数a= ,b= . x（三）解答题：
23x?210. 已知函数f(x)?(x≠-a,a≠),
3x?a(1)求它的反函数; (2)求使f11. 求函数y?
2x?3的值域.
?3x?1?1(x)?f(x)的实数a的值.
41
3.6一元一次函数和一元二次函数的性质
一、高考要求：
掌握一元一次函数和一元二次函数的图象和性质.
二、知识要点：
1. 正比例函数:函数y=kx(k≠0,x∈R)叫做正比例函数.其图象是通过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线. k叫做y与x的比例系数,也称做直线y=kx的斜率.
2. 一次函数:函数y=kx+b(k≠0,x∈R)叫做一次函数(又叫做线性函数).其图象是通过原点(0,b)且平行于直线y=kx的一条直线.k叫做直线y=kx+b的斜率,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.正比例函数是一次函数的特殊情况.
3. 二次函数:函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)叫做二次函数.二次函数有如下性质:
b4ac?b2(1) 函数的图象是一条抛物线,抛物线的顶点的坐标是(?,),抛物线
4a2a的对称轴是x??b; 2ab在处取最小值2a(2) 当a＞0时,抛物线的开口方向向上,函数x??ymin4ac?b2bb?;在区间(-∞, ?)上是减函数,在区间(?,+∞)上是增函
4a2a2ab在处取最大值2a数;
(3) 当a＜0时,抛物线的开口方向向下,函数x??ymax4ac?b2bb?;在区间(-∞, ?)上是增函数,在区间(?,+∞)上是减函
4a2a2a数.
三、典型例题：
例1:已知y+b与x+a成正比例,a,b为常数,如果x=3时y=5;x=2时y=2,求出表示y
是x的函数的解析式.
42
例2:设二次函数f(x)满足f(2?x)?f(2?x),且f(x)=0的两个根的平方和为10,f(x)的图象过点(0,3),求f(x)的解析式.
四、归纳小结：
1. 二次函数的解析式有三种形式: ①y=ax2+bx+c; ②y=a(x+h)2+k; ③y=a(x-x1)(x-x2). 2. 当△=b2-4ac＞0时,二次函数的图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),则 |M1M2|=|x1-x2|=(x1?x2)2?4x1x2=
? a五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知二次函数y?ax2?bx?c的图象关于y轴对称,则下列等式成立的是( )
bc A.b2?4ac?0 B.?0 C.?0 D.a?b?c?0
aa2. 二次函数y?f(x)的图象如图所示,那么此函数为( )
A.y=x2-4 B. y=4-x2
33
C.y=(4-x2) D. y=(2-x) 2
443. 若二次函数y=-x2+bx+c的对称轴是x=4,且最大值是14,则此二次函数可能是( ) A.y=-x2+8x+14 B.y=-x2+8x-2 C.y=-x2-8x-14 D.y=-x2+4x+14 4. 如果函数f(x)?ax2?bx?c对任意t都有f(2?t)?f(2?t),那么( ) A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4) C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1) （二）填空题：
43
5. 设f(x)?(m2?2m)xm?m?1,当m= 时,f(x)为正比例函数,当m= 时,f(x)为反比例函数,当m= 时,f(x)为二次函数.
6. (设函数自变量的增量为△x=x2-x1,相应的因变量的增量记为△y=y2-y1,在一次函数中,当△x=2时, △y=-2,且该函数的图象过点P(-2,3),则这个函数的解析式为 .
7. 已知二次函数y?x2?(m?2)x?4的图象与x轴有交点,则实数m的取值范围是 .
（三）解答题： 8. 已知函数f(x)?12x?3x?4。求作它的图象(要求:标明图象与坐标轴的交点、22顶点、对称轴,不列表描点,长度单位用1cm表示);求点(1,f(1))关于图象对称轴的对称点的坐标.
9. 已知二次函数的图象过点(1,-3),(0,-8),且与x轴的两交点间的距离为2,求这个二次函数.
44
3.7函数的应用
一、高考要求：
会利用函数的观点或性质去分析和解决简单的实际应用问题.
二、知识要点：
实际问抽象概括 数学模推理演数学模型的分析实际问题的分三、典型例题：
例1：将进货单价为40元的商品按50元一个售出时,能卖出500个,若此商品每个涨价1元,其售货量减少10个,为了赚取最大利润,售价应定为多少？
例2：某厂生产某种产品x(百台),总成本为C(x)(万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台成本增加1万元,销售收入为R(x),且
121??4x?x?,(0?x?4)， R(x)??22??7.5,x?4假定该产品产销平衡,
（1） 要不亏本,产量x应控制在什么范围？ （2） 生产多少台时,可使利润最大？ （3） 求利润最大时产品的售价.
45
还原说明
四、归纳小结：
利用函数知识解应用题一般是先设变量写出函数表达式,然后用常用数学方法(二次函数的配方法和均值不等式法求最值)去解模. 五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 某企业各年总产值预计以10%的速度增长,若2002年该企业总产值为1000万元,则2005年该企业总产值为( )
A.1331万元 B.1320万元 C.1310万元 D.1300万元
2. 某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的m倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是( ) mmA. B. C.12m?1 D.11m?1 11123. 某种商品2002年提价25%,2005年要恢复成原价,则应降价( ) A.30% B.25% C.20% D.15%
4. 某种商品进货单价为40元,若按每个50元的价格出售,能卖出50个,若销售单价每上涨1元,则销售量就减少1个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应定为每个( )
A.50元 B.60元 C.70元 D.75元 （二）填空题：
5. 某不法商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是 元.
6. 某商品投放市场以来,曾三次降价,其价格由a元降至b元,那么该商品每次平均降价的百分率是 . （三）解答题：
7. 某化工厂生产的某种化工产品,当年产量在150吨至250吨之内时,其年生产的
x2?30x?4000. 总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y?10(1) 求年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低,并求每吨最低平均成本;
(2) 若每吨平均出厂价为16万元,求年生产多少吨时,可获得最大的年利润,并求出最大年利润.
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8. 某工厂今年1月、2月、3月生产某产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件,为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数
y?abx?c(其中a、b、c为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用
以上哪个函数作为模拟函数较好,说明理由.
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4.1指数式与对数式
一、高考要求：
1. 掌握指数的概念、指数幂的运算法则.
2. 掌握对数的概念、性质和对数的运算法则,掌握换底公式,了解常用对数和自然对数.
二、知识要点：
1. 指数的定义及性质:
(1)有理数指数幂的定义:①a0?1(a?0); ②a?n?③amn1(a?0,n?N?); nam为既约分数); n?nm(a?0,m、n?N?,且④a?mn?1nm(a?0,m、n?N?,且m为既约分数). n(2)实数指数幂的运算法则:①am?an?am?n; ②(am)n?amn; ③(ab)n?an?bn. 2. 对数的定义及性质:
(1) 对数的定义:令N=ab(a＞0且a≠1)中,b叫做以a为底N的对数,N叫做真数,记作:logaN?b.
(2) 对数的性质:①真数必须是正数,即零和负数没有对数; ②loga1?0(a＞0且a≠1); ③logaa?1(a＞0且a≠1); ④对数恒等式:alogaN?N(a＞0且a≠1).
(3) 对数的运算法则:当a＞0且a≠1,M＞0,N＞0时,有
M①loga(MN)?logaM?logaN ②loga?logaM?logaN
N1③logaMn?nlogaM ④loganM?logaM
n(4) 换底公式:logaN?logbN. logba48
(5) 常用对数:底是10的对数叫做常用对数,即log10N?lgN.
(6) 自然对数:底是e的对数叫做自然对数,即logeN?lnN (其中无理数e≈2.71828) .
自然对数和常用对数的关系是:lnN?lgN. lge三、典型例题：
例1:计算: (1) (0.0081)
(2)2log32?log3
例2:化简: (1)(1?a)4
例3: (1)已知log142?a,求log
例4:解下列方程:
x45; (4)lg(2-x2)=lg(2-3x)-lg2; (1)32x-2=81; (2)lg(x-1)2=2; (3)(3)?()43blog9?a,18?5,求log3645的值. 的值; (2)设7182?1470?13?3?2?0.25?[3?()]?[81?(3)]?10?0.0273;
8811132?log38?5log53. 912(lg5)?lg2?lg50 ; (2)3(a?1)49
(5)3x?2?32?x?80; (6)2logx8?3log8x?1.
四、归纳小结：
1. 掌握指数和对数的定义、性质以及运算法则是正确进行指数式和对数式的计算与化简的关键,特别是运算法则及换底公式的灵活运用.
2. 指数、对数方程属于初等超越方程,可以化成代数方程后求解的简单的指数、对数方程主要有以下几种类型:
(1) 基本型:ax?b?x?logab和logax?b?x?ab;
?f(x)?g(x)??ag(x)?f(x)?g(x)和logaf(x)?logag(x)??f(x)?0;
?g(x)?0?(2) 同底数型:af(x)(3) 需代换型:作代换y?af(x)或y?logaf(x)后化为y的代数方程,解出y后转化为基本型求解.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列运算正确的是( )
A.(?a2)3?(?a3)2 B.(?a2)3??a2?3 C.(?a2)3?a2?3 D.(?a2)3?(?1)3a2?3??a6 2. 考查如下四个结论:
(1)当a＜0时,(a)?a; (2)函数y?(x?2)?(3x?7)0的定义域是x≥2; (3)(3?a)?(a?5); (4)已知100a?50,10b?2,,则2a+b=1. 其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3. 下列各式中计算错误的是( )
50
1213232312A.(?a2b)2?(?ab2)3??a7b8 B.(?a2b3)3?(?ab2)3?a3b3 C.(?a3)2?(?b2)3?a6b6 D.[(?a3)2?(?b2)3]3??a18b18 4. 与对数式logba?N(a?0,b?0,b?1)对应的指数式是( ) A.ab?N B.ba?N C.aN?b D.bN?a
?35. ??81?4?16??的值是( ) A.827 B.?83327 C.2 D.?2 6. 若lg(log3x)?0,则x=( )
A.1 B.3 C.10 D.3或10 7. 下列等式不成立的是( ) A.loganbn?logab B.logaN?2logaN
C.logab?1log D.log13aN?logaN ba38. 设a,b是正数,且ab?ba,b=9a,则a的值为( )
A.19 B.99 C.39 D.43 9. 若log3x8?2,则x的值是( )
A.2 B.4 C.112 D.4
10. 如果log5[log3(log2x)]?0,那么4x=( ) A.42 B.423 C.23 D.32 11. 已知log23?a,log25?b,则log925=( ) A.a2
-b B.2a-b C.a22ab D.b
51
1a?b12. 若a＞b＞1,P=lga?lgb,Q=(lga?lgb),R=lg,则( )
22A.Q＞P＞R B.R＞Q＞P C.R＞P＞Q D.Q＞R＞P （二）填空题：
13. 若3a?2,3b?5,则32a?b= . 14. 已知
1x2?x?12x2?1
?8,则= . x
（三）解答题：
15. 已知lgx?lgy?2lg(x?2y),求
16. 设3x?4y?36,求
21?的值. xyx的值. y52
4.2指数函数和对数函数
一、高考要求：
3. 掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质. 4. 掌握指数函数和对数函数在实际问题中的应用.
二、知识要点：
名 形式 指数函数和对数函数的概念、图象和性质对照表 指数函数 对数函数 y?ax(a?0,a?1) y?logax(a?0,a?1) 函数图象 定义 值域 定点 函数值变化 奇偶性 单调(-∞,+∞) (0,+∞) (0,1) 当a＞1时 当0＜a＜1时 ?0?ax?1(x?0)?ax?1(x?0)??x?x a?1(x?0)?a?1(x?0)??x?0?ax?1(x?0)???a?1(x?0) (0,+∞) (-∞,+∞) (1,0) 当a＞1时 ??0(x?1)?logax??0(x?1) ??0(0?x?1)?当0＜a＜1时 ??0(0?x?1)?logax??0(x?1) ??0(x?1)? 非奇非偶函数 当a＞1时, ax是增函数. 当0＜a＜1时, ax是减函数. 当a＞1时, logax是增函数. 53
当0＜a＜1时, logax是减函数. 性 三、典型例题：
ax?1例1:已知函数f(x)?x (a＞0且a≠1).
a?1(1) 求f(x)的定义域和值域; (2) 讨论f(x)的奇偶性; (3) 讨论f(x)的单调性.
例2:求函数y?log0.5(?x2?2x?8)的定义域及单调区间.
例3:已知a?0且a?1,f(logax)?(1) 求f(x);
(2) 判断f(x)的奇偶性和单调性;
(3) 对于f(x),当x?(?1,1)时,有f(1?m)?f(1?m2)?0,求m的取值范围.
a?(x?x?1). 2a?1四、归纳小结：
54
1. 函数y?ax与函数y?a?x的图象关于y轴对称；函数y?logax与函数
y?log1x的图象关于x轴对称；函数y?ax与函数y?logax的图象关于直线
ay=x对称.
2. 指数函数和对数函数互为反函数.它们的性质可以用类比的方法进行记忆. 3. 指数不等式、对数不等式的求解主要依据指、对函数的单调性.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 同时具有以下性质:①图象经过点(0,1); ②在区间(0,+∞)上是减函数; ③是偶函数 的函数是( ) A.f(x)?2x B.f(x)?2?x C.f(x)?x2?1 D.f(x)??x2?1 2. 下列函数图象中,一定通过点(0,1)的是( )
A.y?x2 B.y?x C.y?2x D.y?log2x 3. 若a?a,则a的取值范围是( )
A.a＞1 B.a＜0 C.0＜a＜1 D.R 4. 已知函数f(x)?lg(x?2)?lg(x?1),关于此函数的命题有
(3) 函数f(x)的定义域为(2,+∞),在定义域内是增函数; (4) 函数f(x)的定义域为(-1,+∞),在定义域内是增函数; (5) 函数f(x)的值为1时,则x的值为4; (6) 函数f(x)在定义域内为奇函数.
其中正确的说法是( )
A.(1) (3) B.(2) (4) C.(1) (2) D.(3) (4) 5. 若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R },则( ) A.A
B B.A?B C.AB D.A=B
?54546. 函数f(x)?logax与y?loga(?x)的图象关于( )
A.x轴对称 B.y轴对称 C.直线y=x对称 D.原点对称
55
7. 函数f(x)?log1(x?1)的定义域是( )
2A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(1,2] 8. 函数f(x)?log2x?3(x≥1),则反函数f?1(x)的定义域是( )
A.R B.{x|x≥1} C.{x|0＜x＜1} D.{x|x≥3} 9. 函数y?f(x)的反函数为y?lg(x?1)?3(x＞1),则f(x)=( ) A.10x?3?1 B.10x?3?1 C.10x?3?1 D.10x?3?1 10. 函数y?log1(x2?3x?2)的单调递增区间是( )
2A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(-∞,
33) D.(,+∞) 22（二）填空题：
11. 若a?1,试将log10.5,loga1,log10.6从小到大用不等号连接,则有
aa2?1,则a的取值范围是 . 3（三）解答题：
12. 若logakax?1(a、k?R,a?0,a?1)是R上的奇函数, 13. 已知f(x)?xa?1(1) 求k值; （2）求f(x)的反函数f
14. 已知函数f(x)??1(x)；（3）解不等式f?1(x)?0
1?a是x≠0上的奇函数,a是常数,求a的值. x2?1ax?115. 已知函数f(x)?x (a＞1).
a?1(1) 判断f(x)的奇偶性; (2) 求f(x)的值域;
(3) 证明f(x)是区间(-∞,+∞)上的增函数.
56
57
4.3抽象函数
一、高考要求：
会用函数知识解简单地应用问题.
二、知识要点：
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图象,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.它是函数部分中一类比较抽象的函数.它给定函数f(x)的某些性质,要证明它的其它性质,或利用这些性质解一些不等式或方程.这些题目的设计,一般都有一个基本函数做“模特”,如能正确分析估猜这个模特函数,联想这个函数的其它性质来思考解题方法,那么这类题就化难为易了.
三、典型例题：
例1:函数f(x)对一切实数x,y均有f(x?y)?f(x)=x(x+2y-1)成立.且f(0)?0, ①求f(0)的值;②求f(x); ③当f(x)+3＜2x+a,对0?x?
x例2:设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f()?f(x)?f(y).
y1恒成立时,求实数a的取值范围. 2 ①求证:f(1)?0;②求不等式f(x?1)?f(③求证:f(xn)?nf(x).
1)?f(7); x?5四、归纳小结：
求解抽象函数问题的常用方法有:
(1) 模型函数法:常见抽象函数模型所对应的具体函数模型归纳列表如下:
抽象函数y?f(x)具有性质 具体初等函数模型 f(x)?kx(k?0) f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) f(x)?ax(a?0,a?1) f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)58
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)f(x)?logax(a?0,a?1) x1)?f(x1)?f(x2)x2x?x2x?x2f(x1)?f(x2)?2f(1)?f(1) f(x)?cosx 22(2) 函数性质法:函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此.要充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化.常用的方法有:①利用奇偶性整体思考;②利用单调性等价转化;③利用周期性回归已知;④利用对称性数形结合;⑤借助于特殊点布列方程(组)等.
(3) 特殊化方法:①在求函数解析式或研究函数性质时,一般用“代换”的方法,将
f(x换成-x或将x换成1x等;②在求函数值时,可用特殊值(如0或1或-1)“代入”;③研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题、填空题,或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和方法.
五、基础知识训练(解答题)：
1. 定义在实数集R上的函数f(x),对任意实数x,y均有：
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)?f(y).且f(0)?0.
①求证:f(0)=1;②求证:y?f(x)是偶函数;
c③若存在正常数c,使f()?0.求证:对任意x∈R,有f(x?c)??f(x)成立.
2
2. 函数f(x)定义在实数集R上,当x＞0时,f(x)?1,对任意实数m,n有
f(m?n)?f(m)?f(n).当m≠n时,f(m)?f(n).
①求证:f(x)在R上是增函数; ②若f(2)?9,解方程[f(x)]2?1f(x?3)?1?f(1). 959
3. 设函数f(x)是奇函数,对任意实数x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)??2,且当x＞0时,f(x)?0,求f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值.
4. 如果函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)为增函数,f(x?y)?f(x)?f(y).
x①证明:f()?f(x)?f(y);
y ②已知f(3)?1,且f(a)?f(a?1)?2,求a的取值范围.
60
5.1向量的概念
一、高考要求：
理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.
二、知识要点：
1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作AB,应注意:始点一定要写在终点的前面,已知AB,线段AB的长度叫做有向线段AB的长(或模),AB的长度记作|AB|.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.
2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段
AB表示向量时,我们就说向量AB.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、
c、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a、b、c、…等.与向量有关的概念有:
(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a和b同向且等长,即a和b相等,记作a=b.
(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定. (3) 位置向量:任给一定点O和向量a,过点O作有向线段OA?a,则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定,这时向量a又常叫做点A相对于点O的位置向量.
(4) 相反向量:与向量a等长且方向相反的向量叫做向量a的相反向量,记作?a.显然, a?(?a)?0.
61
(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e.与向量a同方向的单位
a向量通常记作a0,容易看出:a0?.
│ │a (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行
或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a平行于向量b,记作a∥b.零向量与任一个向量共线(平行).
三、典型例题：
│ AB│ ?│ BC│ ,那么四边形ABCD是哪种四例:在四边形ABCD中,如果AB?DC且
边形?
四、归纳小结：
1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据. 2. 共线向量(平行向量)是方向相同或相反的向量,可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A相对于点B的位置向量是BA. 正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 设O是正△ABC的中心,则向量AO,OB,OC是( )
A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量 3. a?b的充要条件是( )
│ │a ?│ │b B.│ │a ?│ │b 且a∥b C.a∥b D.│ │a ?│ │b 且a与b同向 A.
62
4. AA??BB?是四边形ABB?A?是平行四边形的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD是菱形的是( ) A.AD?BC B.AD∥BC且AB∥CD
│ AB│ ?│ AD│ D.AB?DC且AD?BC C.AB?DC且
6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( ) A.零向量没有方向 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向任意
7. 设与已知向量a等长且方向相反的向量为b,则它们的和向量a?b等于( ) A.0 B.0 C.2a D.2b （二）填空题：
8. 下列说法中: (1)AB与BA的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同 (4)长度相等的两个向量
必共线。错误的说法有 .
9. 下列命题中: (1)单位向量都相等 (2)单位向量都共线 (3)共线的单位向量必相等 (4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有 个.
∣∣a=0,则a=0. (2)若∣∣=a∣∣b,则a?b或a??b. 10. 下列命题中: (1)若
∣∣=a∣∣b. (4)若a?0,则?a?0. (3)若a与b是平行向量,则
其中正确的命题是 (只填序号).
（三）解答题： 11. 如图,四边形ABCD于ABDE都是平行四边形.
(1) 若AE?a,求DB; (2) 若CE?b,求AB;
(3) 写出和AB相等的所有向量; (4) 写出和AB共线的所有向量.
63
5.2向量的加法与减法运算
一、高考要求：
掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.
二、知识要点：
1. 已知向量a、b,在平面上任取一点A,作AB?a,BC?b,作向量AC,则向量AC叫做向量a与b的和(或和向量),记作a+b,
即a?b?AB?BC?AC.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
2. 已知向量a、b,在平面上任取一点A,作AB?a,AD?b,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=a+b=AB+AD.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则. 3. 已知向量a、b,在平面上任取一点O,作OA?a,OB?b,则
b+BA=a,向量BA叫做向量a与b的差,并记作a-b,即
BA=a?b?OA?OB.由此推知:
(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;
(2) 一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB;
(3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量. 4. 向量加法满足如下运算律: (1)a?b?b?a; (2)(a?b)?c?a?(b?c).
三、典型例题：
64
│ a?b│ ≤│ │a ?│ │b 是否正确为什么 例1:已知任意两个向量a、b,不等式
例2:作图验证:?(a?b)??a?b.
四、归纳小结：
1. 向量的加法有三角形法则(AB?BC?AC)或平行四边形法则(AB+AD=AC),向量的减法法则(AB?OB?OA).
2. 向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.
3. 任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点).
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 化简AB?AC?BD?DC的结果为( ) A.AC B.AD C.0 D.0 2. 在△ABC中,BC?a,CA?b,则AB等于( ) A.a?b B.?(a?b) C.a?b D.b?a 3. 下列四式中不能化简为AD的是( )
A.(AB?CD)?BC B.(AD?MB)?(BC?CM) C.MB?AD?BM D.OC?OA?CD
65
4. 如图,平行四边形ABCD中,下列等式错误的是( ) A.AD?AB?BD B.AD?AC?CD C.AD?AB?BC?CD D.AD?DC?CA 5. 下列命题中，错误的是( )
?a?b??≤??a?????b?? A.对任意两个向量a、b,都有?B.在△ABC中,AB?BC?CA?0
C.已知向量AB,对平面上任意一点O,都有AB?OB?OA
D.若三个非零向量a、b、c满足条件a?b?c?0,则表示它们的有向线段一定能构成三角形
6．下列等式中，正确的个数是( )
: ①a?0?a;②b?a?a?b;③?(?a)?a;④a?(?a)?0;⑤a?(?b)?a?b. A.2 B.3 C.4 D.5 （二）填空题：
6. 在△ABC中,AB?CA= ,BC?AC= .
7. 化简:AB?AC?BD?CD= ,A0A1?A1A2?A2A3?A3A0= . （三）解答题：
8. 若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北30方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西60方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.
66
5.3 数乘向量
一、高考要求：
掌握数乘向量的运算及其运算律.
二、知识要点：
1. 数乘向量的一般定义:实数?和向量a的乘积是一个向量,记作?a.
│ =│ ∣?│ │a ; 当??0时,?a与a同方向│,?a│ =│ ∣?│ │a ; 当??0时,?a与a反方向│,?a当??0或a?0时,0?a???0?0.
2. 数乘向量满足以下运算律: (1)1a=a,(-1)a=?a; (2)?(?a)?(??)a;
(3)(???)a??a??a; (4)?(a?b)??a??b.
三、典型例题：
111例1:化简: (a?2b)?(5a?2b)?b
463
11例2:求向量x:2(x?a)?(b?3x?c)?c
42
四、归纳小结：
向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算.
五、基础知识训练：
67
（一）选择题：
1. 下列关于数乘向量的运算律错误的一个是( )
A.?(?a)?(??)a B.(???)a??a??a C.?(a?b)??a??b D.?(a?b)??a?b 2. D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且BC?a,CA?b,给出下列命题,其中正确命题的个数是( )
1111 ①AD??a?b; ②BE?a?b; ③CF??a?b; ④AD?BE?CF?0.
2222 A.1 B.2 C.3 D.4
3. 已知AM是△ABC的BC边上的中线,若AB?a,AC?b,则AM等于( )
1111 A.(a?b) B.(b?a) C.(a?b) D.?(a?b)
22221∣AD∣?∣BC∣4. 设四边形ABCD中,有DC?AB,且,则这个四边形是( )
2 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 （二）填空题：
5. 化简:2(3a?4b?c)?3(2a?b?3c)= . 6. 若向量x满足等式: x?2(a?x)?0,则x= . 7. 数乘向量?a的几何意义是 . （三）解答题：
18. 已知向量(也称矢量)a,b,求作向量x?2a?b.
2b
a
9. 已知a、b不平行,求实数x、y使向量等式3xa?(10?y)b?(4y?7)a?2xa恒成立.
68
110. 任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:EF?(AB?DC).
2
69
5.4平行向量和轴上向量的坐标运算
一、高考要求：
掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算.
二、知识要点：
1. 平行向量基本定理:如果向量b?0,则a∥b的充分必要条件是,存在唯一的实数
?,使a??b.该定理是验证两向量是否平行的标准.
2. 已知轴,取单位向量e,使e与同方向,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使a?xe.这里的x叫做a在轴上的坐标(或数量),x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x是正数,当a与e反方向时,x是负数.
(1) 设a?x1e,b?x2e,则①a=b当且仅当x1?x2;②a+b=(x1?x2)e. 这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
(2) 向量AB的坐标通常用AB表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙尔公式:AB+BC=AC.
(3) 轴上向量的坐标运算:起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.即在轴x上,若点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2?x1.可得到数轴上两点的距离公式│: AB│ =x2?x1.
三、典型例题：
例1:已知:MN是△ABC的中位线,求证:MN?1BC,MN∥BC. 2
70
1│ │a │: │b . 例2:已知:a?3e,b??e,试问向量a与b是否平行?并求
3
例3:已知:A、B、C、D是轴上任意四点,求证:AB?BC?CD?DA?0
四、归纳小结：
1. 平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式,应用这一定理,可以通过向量的运算解决几何中的平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式.
2. 数轴上任一点P相对于原点O的位置向量OP的坐标,就是点P的坐标,它建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 如果a?mb(m?R,b?0),那么a与b的关系一定是( ) A.相等 B.平行 C.平行且同向 D.平行且反向
│ AD│ =│ CB│ ,则四边形ABCD是( ) 2. 若AB?3e,CD??5e,且
A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形 3. “a1e1?a2e2?0”是“a1?0且a2?0”的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
（二）填空题：
4. 若a?3e,b??6e,那么a与b的关系是 . 5. 在轴上,若AB??8,BC?23,则AC= . 71
6. 已知:数轴上三点A、B、C的坐标分别是-5、-2、6,则AB= ,CA= , │ CB│ = . （三）解答题：
7. 已知:点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,求证:EF=HG.
72
5.5向量的分解
一、高考要求：
理解平面向量的分解定理.
二、知识要点：
1. 平面向量的分解定理:设a1,a2是平面上的两个不共线的向量,则平面上任意一个向量c能唯一地表示成a1,a2的线性组合,即c?x1a1?x2a2(x1,x2?R). 2. 直线的向量参数方程：
(t为参数):①AP?tAB;②OP?OA?tAB;③OP?(1?t)OA?tOB.特别地,当t?1时,OP?(OA?OB),此为中点向量表达式.
212三、典型例题：
例1:如图,在△ABC中,M是AB的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于F,MH∥AF,交BC于点H,设AB?a,AC?b,试用基底a、b表示BH、MH、
EC.
例2:如图,A、B是直线上任意两点,O是外一点,求证:点P在直线上的充要条件是:存在实数t,使OP?(1?t)OA?tOB.
73
四、归纳小结：
平面向量分解定理告诉我们:平面上取定两个不平行的向量作为基向量,则平面上的任一向量都可以表示为基向量的线性组合.于是,向量之间的运算转化为对两个向量的线性运算.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 如图,用基底向量e1、e2表示向量a、b、
c、d,不正确的一个是( )
A.a=?e1+2e2 B.b=2e1+3e2 C.c=3e1+e2 D.d=e1+3e2
2. 在平行四边形ABCD中,O是对角线AC和BD的交点,AB?2e1,BC?4e2,则
2e2?e1等于( )
A.AO B.BO C.CO D.DO
3. 已知平行四边形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点M,设AB?a,AD?b,则用基底向量a、b分别表示MA、MB、MC、MD中,错误的一个是( )
11111111 A.?a?b B.a?b C.a?b D.a?b
222222224. 若点P满足向量方程AP?tAB,当t在R内任意取值时,点P的轨迹是( ) A.直线OA B.直线OB C.直线AB D.一条抛物线
74
（二）填空题：
5. 已知O、A、B三点不共线,则用向量OA、OB分别表示线段AB的三等分点P、Q相对于点O的位置向量为 . 6. 在△ABC中,DE∥BC,并分别与边AB、AC交于点D、E,如果
1AD=AB,AB?a,AC?b,则用a、b表示向量DE为 . 37. 正方形ABCD中,E为DC的中点,AB?a,AD?b,则BE= . 8. 已知平行四边形的边BC和CD的中点分别为E、F,试把向量EF表示成AB、
AD的线性组合为 . （三）解答题：
9. ABCD是梯形,AB∥CD且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点,已知
AB?a,AD?b,求BC和MN.
.
75
5.5向量的直角坐标
一、高考要求：
掌握向量的直角坐标和点的坐标之间的关系,熟练掌握向量的直角坐标运算,会求满足一定条件的点的坐标,掌握平行向量坐标间的关系.
二、知识要点：
1. 在直角坐标系XOY内,分别取与x轴、与y轴方向相同的两个单位向量e1、e2,在XOY平面上任作一向量a,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序实数对
(x1,x2),使得a?x1e1?x2e2,则(x1,x2)叫做向量a在直角坐标系XOY中的坐标,记
作a?(x1,x2).
2. 向量的直角坐标:任意向量AB的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标,即若A(x1,y1)、B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2,y2)?(x1,y1)?(x2?x1,y2?y1).向量
a的直角坐标(a1,a2),也常根据向量的长度和方向来求:a1?∣∣acos?,a2?∣∣asin?.
3. 向量的坐标运算公式:设a?(a1,a2),b?(b1,b2),则:
a?b?(a1,a2)?(b1,b2)?(a1?b1,a2?b2);a?b?(a1,a2)?(b1,b2)?(a1?b1,a2?b2);
?a??(a1,a2)?(?a1,?a2).
三、典型例题：
例1:已知A(-2,1)、B(1,3),求线段AB的中点M和三等分点P、Q的坐标及向量
PQ的坐标.
76
b?(1,?1)、c?(?1,2),把向量c表示为a和b的线性组合. 例2:若向量a?(1,1)、
四、归纳小结：
1. 向量在直角坐标系中的坐标分别是向量在x轴和y轴上投影的数量,向量的直角坐标运算公式是通过对基向量的运算得到的.
2. 要求平面上一点的坐标,只须求出该点的位置向量的坐标.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 已知向量a?(2,3),向量b?(?1,1),下列式子中错误的是( ) A.a?b?(1,4) B.a?b?(3,2) C.5a?(10,15) D.?2a?(4,6) 2. 已知a?(a1,a2),b?(b1,b2),则a?b的充要条件是( )
A.a1?b1 B.a2?b2 C.a1?b1且a2?b2 D.a1?b1或a2?b2 3. 已知点A(-1,1),B(-4,5),若BC?3BA,则点C的坐标是( ) A.(-10,13) B.(9,-12) C.(-5,7) D.(5,-7)
4. 已知点A(1,2),B(-1,3),OA??2OA,OB??3OB,则A?B?的坐标是( ) A.(-5,5) B.(5,-5) C.(-1,13) D.(1,-13) 5. 已知A(1,5),B(-3,3),则△AOB的重心的坐标为( )
1142828 A.(?,2) B.(?,) C.(,) D.(?,)
23333336. 已知向量a?(1,?2),向量b?(?2,3),则3a?2b等于( ) A.(-1,-12) B.(3,-5) C.(7,-12) D.(7,0) 7. 已知a=(-4,4),点A(1,-1),B(2,-2),那么( )
A.a?AB B.a?AB C.|a|?|AB| D.a∥AB
77
8. 已知点A(1,2),B(k,-10),C(3,8),且A,B,C三点共线,则k=( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 9. 已知m?(3,2),n?(x,4),m∥n,则x=( )
88 A.6 B.-6 C.? D.
33（二）填空题：
10. 设平行四边形ABCD的对角线交于点O,AD?(3,7),AB?(?2,1),则OB的坐标是 .
b?(1,?1),c?(3,?2),且c?pa?qb,则p,q的值分别为 . 11. 已知a?(?1,2),12. 若向量a?(2,m)与b?(m,8)是方向相反的向量,则m= . （三）解答题：
13. 已知a?(1,2),b?(?2,?3),实数x,y满足等式xa?yb?(3,?4),求x,y.
14. 已知向量OA?(3,4),将向量OA的长度保持不变绕原点O沿逆时针方向旋转
3?到OA?的位置,求点A?的坐标. 4
15. 已知向量a=(-3,4)、b=(-1,1),点A的坐标为(1,0).
(1) 计算3a?2b;(4分)
1(2) 当AB??a时,求B点的坐标.(6分)
3
78
5.6向量的长度和中点公式
一、高考要求：
熟练掌握向量的长度(模)的计算公式(即两点间的距离公式)、中点公式. 二、知识要点：
1. 向量的长度(模)公式:若a?(a1,a2),则∣∣a?a12?a22; 若A(x1,y1),B(x2,y2),则∣AB∣?(x2?x1)2?(y2?y1)2. 2. 中点公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则
x?x1?x2y?y2. ,y?122三、典型例题：
例1:已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),求顶点D的坐标.
例2:已知A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),求证:△ABC为等腰三角形.
四、归纳小结：
向量的长度公式、距离公式是几何度量的最基本公式,中点公式是中心对称的坐标表示.
五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 已知向量a=(3,m)的长度是5,则m的值为( ) A.4 B.-4 C.±4 D.16 2. 若A(1 , 3),B(2 , 5),C(4 ,2),D(6,6),则( )
∣AB∣?∣CD∣ A.AB?CD B. C.AB∥CD D.AB?CD
3. 已知平行四边形ABCD的顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),则顶点D的坐标是( )
A.(0,4) B.(2,2) C.(-1,5) D.(1,5)
79
4. 已知点P的横坐标是7,点P到点N(-1,5)的距离是10,则点P的坐标是( ) A.(7,11) B.(7,-1) C.(7,11)或(7,-1) D.(7,-11)或(7,1) （二）填空题：
∣AB∣5. 已知A(-3 , 4),B(4 , -3),则AB= ,= ,线段AB的中点坐标是 . ∣PQ∣=∣PM∣6. 已知点P(x,2),Q(-2,-3),M(1,1),且,则x的值是 . （三）解答题：
7. 已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点D的坐标.
118. 已知点A(5,1),B(1,3),及OA??OA,OB??OB,求A?B?的坐标和长度.
33
80
5.7平移公式
一、高考要求：
掌握平移公式,会求满足一定条件的点的坐标. 二、知识要点：
1. 平移是一种基本的几何(保距)变换,它本身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的平移(平面解析几何中讲到). 2. 在图形F上任取一点P(x,y),设平移向量a?(a1,a2)到图形F?上的点P?(x?,y?),则点的平移公式为:x??x?a1,y??y?a2. 三、典型例题：
例1:一种函数y?x2的图象F平移向量a?(2,?3)到F?的位置,求图象F?的函数解析式.
例2:已知抛物线F:y?x2?6x?11经一平移变换为F?:y?x2,求平移变换公式.
四、归纳小结：
点的平移法则:函数y=f(x)的图象平移向量a?(a1,a2)后,得到新图形的方程是:y-a2=f(x-a1).这就是说,在方程y=f(x)中,把x,y分别换成x-a1,y-a2,即可得到图象F?的方程.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
81
1. 点A(-2,1)平移向量a=(3,2)后,得到对应点A?的坐标是( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3)
2. 将函数y?2x2的图象F,平移向量a=(-3,1)到图象F?,则F?对应的解析式是( ) A.y?2(x?3)2?1 B.y?2(x?3)2?1 C.y?2(x?3)2?1 D.y?2(x?3)2?1
3. 将函数y=2x的图象,平移向量a=(0,3)到?,则?的方程是( )
2x B.y=2(x+3) C.y=6x D.y=2x+3 314. (2000高职-7)将函数y?sin?x的图象右移个单位,平移后对应的函数为( )
211 A.y?sin(?x?) B.y?sin(?x?) C.y?cos?x D.y??cos?x
22 A.y=
5. 将函数y=sin2x的图象平移向量a得到函数y?sin(2x?)的图象,则a为( )
3???? A.(?,0) B.(,0) C. (?,0) D. (,0)
63636. 将方程x2-4x-4y-8=0表示的图形经过平移向量a变换到x2=4y的图形,则a=( )
A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)
7. 函数y?2(x?2)2?1的图象平移向量a后得到函数y?2x2的图象,则a为( ) A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1) （二）填空题：
8. 在平移变换下,点A(1,0)变为A?(4,3),则平移向量a= . 9. F:抛物线y?x2?14x?57经一平移变换到F?:y?x2,其平移变换公式为 . 10. 把图形F平移向量a=(2,3)后得到图象F?,已知F?的解析式为y?x2?6x?14,则F对应的函数解析式为 . （三）解答题：
1
11. 已知函数y?的图象为F,把F平移向量a=(3,2)到图象F?,求图象F?的表达式.
x
82
?.
83
5.8向量的射影与内积
一、高考要求：
了解向量在轴上投影的概念,掌握向量在轴上投影的数量计算,熟练掌握向量内积的概念及其运算性质,初步掌握向量的应用. 二、知识要点：
1. 以x轴的正半轴为始边,以射线OA为终边的角?,叫做向量a的方向角.向量a在轴上的投影数量为a?∣∣acos?.
2. 两个向量a,b的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系:
(1) 两个向量的内积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数
量的乘积,即
a?b?∣∣a(∣∣bcos
(2) 两个向量的内积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积,即
a?b?∣∣a│b∣cos
(3) 两个向量的内积是数量而不是向量.
3. 内积运算的性质:
acos
(1) 向量内积的坐标运算:已知a?(a1,a2),b?(b1,b2),则a?b?a1b1?a2b2; (2) 内积的运算律:交换律a?b?b?a;结合律?(a?b)?(?a)?b?(?b)?a;
分配律(a?b)?c?a?c?b?c.
三、典型例题：
例1:在直角坐标系xOy中,已知OA的方向角为60,OB的方向角为180,OC的方向角为300,且它们的长度都等于2.
84
(1)求OA,OB,OC的坐标; (2)求证:OA+OB+OC=0.
∣∣a、∣∣b、
四、归纳小结：
要求会根据已知条件,求向量在轴上的投影数量;能直接用向量的内积公式,求两向量的内积或夹角;会证明两向量互相垂直. 五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 下面命题正确的是( )
A.向量的方向角在[0,?]之间 B.向量在x轴的正投影的数量总是正数 C.0≤≤
A.a?0 B.b?0 C.a?0或b?0 D.a?b
3. 四边形ABCD中,AB?BC?0,AB?DC,则四边形ABCD是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 （二）填空题：
∣∣a=6,b在a方向上的正投影数量为-8,则a?b= . 4. 已知
5. 若a?(3,4),b?(1,?7),则a?b= ,
是 .
（三）解答题：
7. 在直角坐标系xOy中,已知OA的方向角为0,OB的方向角为120,OC的方向角为240,且它们的长度都等于5.
85
(1)求OA,OB,OC的坐标; (2)求证:OA+OB+OC=0.
8. 已知点A(2 , 1),B(3 , 5),C(-2 ,2),求证△ABC为等腰直角三角形.
6.1数列的概念
一、高考要求：
理解数列的概念和数列的通项公式、数列的前n项和的意义.了解数列的分类. 二、知识要点： 1. 数列的概念:
按一定“次序”排列的一列数,叫做数列.在数列中的每一个数叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)、第2项、第3项、…、第n项、…. 2. 数列的通项公式:
用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式.数列的通项是以正整数集的子集为其定义域的函数,可记作:an?f(n),(n?A,A?N?). 3. 数列的前n项和:
在数列a1、a2、a3、…、an、…中,把a1+a2+a3+…+an叫做数列{an}的前n项和,记作:Sn=a1+a2+a3+…+an.
4. 数列的分类:
按项数是有限还是无限来分,数列可分为有穷数列和无穷数列;
按项与项之间的大小关系来分,数列可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列.
三、典型例题：
例1:写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下面各列数:
(1)1,3,5,7; (2)1,3,6,10; 198192549(3),1,,; (4),?,,?. 3532468
86
例2:已知数列{an}:a1=1,an?an?1?1(n?2), n(n?1)(1)写出数列{an}的前5项; (2)求通项公式.
例3:已知数列{an}的前n项和Sn,求数列{an}的通项公式:
(1) Sn?(?1)n?1n; (2)Sn?2n2?n?3.
四、归纳小结：
1. 数列与数集:数列与数集都是具有某种共同属性的数的全体.数列中的数是有序的,而数集中的元素是无序的;同一个数在数列中可以重复出现,而数集中的元素是互异的.数列概念的内涵是一列数、有序排列等两个本质属性的总和.
2. 数列与函数:数列可看作是一种特殊的函数(定义域为正整数集或其有限子集的函数)当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.
3. 数列的通项公式:一个数列的通项公式就是一个以N?或它的有限子集
{1,2,3,…,n}为定义域的函数的解析表达式;不是每一个数列都一定有通项公式,如果一个数列有通项公式,那么它的通项公式在形式上可以不止一个.求数列的通项公式实质上就是寻找数列的第n项与序号n之间的联系纽带.数列的递推公式是给出数列的一种重要方法.
?S1(n?1)4. 数列的通项公式an与前n项和公式Sn之间的关系:an??.
S?S(n?2,n?N)n?1??n五、基础知识训练：
(一)选择题：
28. 数列1,3,7,15,…的通项公式an是( )
A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n?1
29. 下列关于数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,…的通项公式,不正确的是( )
87
A.an?(?1)n B.an?cosn? C.an????1(n为奇数)?1(n为偶数) D.an?sin?
n230. 已知某数列的通项公式为an?2n?1,则2047是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项 31. 已知数列3,6,3,23,?,那么6是这个数列的( ) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第13项 32. 已知a1?3,a2?6,an?2?an?1?an,那么a5的值是( ) A.3 B.6 C.-3 D.-6
33. 已知数列{an}满足a1?1,an?1?log23an,则a5的值是( ) A.4log23 B.5log23 C.(log23)4 D.(log23)5
34. (97高职)数列{an}的前n项和Sn?n(n?1),则它的第n项an是( ) A.n B.n(n+1) C.2n D.2n 35.
已知数列{an}的通项公式为an?51?3n,那么数列{an}的前n项和Sn达到
最大值时n=( )
A.15 B.18 C.16或17 D.19 (二)填空题： 36. 数列1,?1111,,?,x,?,…中,x= . 49163637. 数列7,77,777,7777,77777,…的一个通项公式是 . 38. 已知数列{an}的前n项和Sn?n2?1,则它的第n项an= . 39. 已知数列{an}的前n项和Sn?2n2?3n?1,那么a4?a5???a10= . (三)解答题：
40. 已知数列{an}的前n项和Sn?n2?pn,数列{bn}的前n项和Tn?3n2?2n,若
a10?b10,求p的值.
41. 已知数列{an}的前n项和Sn?2n2?3n?1,求an.
88
89
6.2等差数列
一、高考要求：
掌握等差数列的概念,掌握其等差中项、通项公式及前n项和公式,并会用公式解简单的问题. 二、知识要点： 1. 等差数列的概念:
一般地,如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一常数,则这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d来表示.
公差为0的数列叫做常数列. 2. 等差数列{an}的通项公式:an?a1?(n?1)d.
3. 等差中项的概念:
一般地,如果在数a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.记作:A?a?b. 2n(a1?an)n(n?1)或Sn?na1?d. 224. 等差数列{an}的前n项和公式:Sn?三、典型例题：
例1:已知a5?11,a8?5,求等差数列{an}的通项公式及前n项的和公式.
例2:在等差数列{an}中,S2?4,S4?16,Sn?121,求n.
例3:已知数列{an}是等差数列,且a1?a5?a9?a13?a17?117,求a3?a15的值.
例4:已知数列{an}的前n项的和为Sn?n2?3n,求证数列{an}是等差数列.
90
例5:等差数列{an}中,a1?0,S9?S12,该数列的前多少项的和最小?
四、归纳小结：
1. 判断一个数列是等差数列的方法:
(1)an?an?1?d(n≥2,d为常数)?{an}是公差为d的等差数列; (2)2an?an?1?an?1(n≥2)?{an}是等差数列;
(3)an?kn?b(k,b为常数)?{an}是公差为k的等差数列; (4)Sn?An2?Bn(A,B为常数)?{an}是等差数列.
2. 三个数a,b,c成等差数列的充要条件是a+c=2b(b是a和c的等差中项). 等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系:an?1?an?1?2an(n≥2),可推广为:若项数m,n,p成等差数列,则am?ap?2an. 3. 公差为d的等差数列{an}的主要性质:
(1)d＞0时,{an}是递增数列; d＜0时,{an}是递减数列; d=0时,{an}是常数列; (2)an?am?(n?m)d(m、n?N?);
(3)若m+n=p+q(m、n、p、q?N?),则am?an?ap?aq; (4)数列{?an?b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列; (5)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等差数列.
4. 解题的基本方法:
(1) 抓住首项与公差,灵活运用定义、通项公式及前n项和公式是解决等差数列问题的关键.
(2) 等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,an,Sn,知道其中任意三个就可以列出方程组求出另外两个(俗称“知三求二”).
91
(3) 巧设未知量.若三数成等差数列,可设这三数分别为a-d,a,a+d(其中d为公差);若四数成等差数列,可设这四数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(其中2d为公差).
(4) 若a,b,c成等差数列,常转化为a+c=2b的形式去运用;反之,求证a,b,c成等差数列,常改证a+c=2b.
五、基础知识训练： (一)选择题：
1. 已知等差数列{an}中,a2=1002,an=2002,d=100,则项数n的值是( ) A.8 B.9 C.11 D.12 2. 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=5,则a10=( ) A.19 B.21 C.37 D.41 3. 等差数列{an}中,a1?3,a100?36,则a3?a98=( )
A.36 B.38 C.39 D.42
4. 在1和100之间插入15个数,使它们同这两个数成等差数列,则其公差( ) A.
1011019999 B. C. D. 171617165. 已知a,b,c∈R,那么“a-2b +c=0”是“a,b,c成等差数列”的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 中C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已知a,b,c的倒数成等差数列,且a,b,c互不相等,则 A.
acba B. C. D. cacba2?a1=( ) b2?b1a?b等于( ) b?c7. 已知数列x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y都是等差数列,且x?y,则 A. B. C. D.
344543548. 一个等差数列的首项是32,若这个数列从第15项开始小于1,那么这个数列的公差d的取值范围是( ) A.d??313131313131 B.d? C.??d?? D.??d?? 1413131413149. 在△ABC中,若三个角A、B、C成等差数列,且lga、lgb、lgc也成等差数列,则△ABC一定是( )
92
A.有一个角是60o的任意三角形 B.有一个角是60o的直角三角形 C.正三角形 D.以上都不正确
10. 在等差数列{an}中,已知a4?a5?12,那么它的前8项和S8=( ) A.12 B.24 C.36 D.48
11. 已知等差数列{an}的公差为1,且a1?a2???a98?a99?99,则
a3?a6???a96?a99的值是( )
A.99 B.66 C.33 D.0
12. 等差数列{an}中,a9?a10?10,a29?a30?20,则a99?a100=( ) A.55 B.110 C.15 D.以上都不对 (二)填空题：
13. 已知等差数列{an}中,a2?a3?a10?a11=48,则a6?a7= . 14. 等差数列{an}中,已知am?n,an?m,则am?n= . 15. 已知三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,则这三个数依次为 .
16. log64与log69的等差中项为 . (三)解答题：
17. 已知{an}是等差数列,公差为d,前n项和为Sn:
(1)a1?1,d??2,n?5,求an及Sn; (2)d?3,n?31,Sn?0,求a1及an; (3)d??4,an??80,Sn??840,求a1及n;
93
6.3等比数列
一、高考要求：
掌握等比数列的概念,掌握其等比中项、通项公式及前n项和公式,并会用公式解简单的问题. 二、知识要点： 1. 等比数列的概念:
一般地,如果一个数列从它的第2项起每一项与它的前一项的比都等于同一常数,则这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q来表示.
公比为1的数列叫做常数列. 2. 等比数列{an}的通项公式:an?a1qn?1.
3. 等比中项的概念:
一般地,如果在数a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.记作:G2?ab或G??ab.
a1(1?qn)a?aq4. 等比数列{an}的前n项和公式:q?1时,Sn?或Sn?1n;q?11?q1?q时,Sn?na1. 三、典型例题：
例1:在等比数列{an}中,已知Sn=189,an=96,q=2,求a1和n.
例2:设等比数列{an}的公比与前n项和分别为q与Sn,且q≠±1,S10?8,求值.
例3:数列{an}中,Sn?1?kan(k?0,k?1).
S201?q10的
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(1)求证:{an}是等比数列; (2)求an.
例4:已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d,d?1,a1?b1,a4?b4,a10?b10.
(1) 求a1与d的值;
(2) b16是不是{an}中的项为什么
例5:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和为8, 第二个数与第三个数的和为4,求这四个数.
四、归纳小结：
1. 判断一个数列是等比数列的方法:
(1)an?an?1?q(n≥2,q是不为零的常数)?{an}是公比为q的等比数列; (2)an2?an?1?an?1(n≥2,an?an?1?an?1?0)?{an}是等比数列;
(3)an?c?qn(c,q均是不为零的常数)?{an}是首项为cq,公比为q的等比数列. 2. 三个数a,b,c成等比数列的必要条件是b2?ac或b??ac (b是a和c的等比中项).
等比中项描述了等比数列中相邻三项之间的数量关系:an?1?an?1?an2(n≥2),可推广为:
若项数m,n,p成等差数列,则am?ap?an2.
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3. 公比为q的等比数列{an}的主要性质:
(1)当q＞1,a1?0或0?q?1,a1?0时,{an}是递增数列;当q＞1,a1?0或
0?q?1,a1?0时,{an}是递减数列; 当q=1时,{an}是常数列; 当q＜0时,{an}是摆动
数列.
(2)an?amqn?m(m、n?N?);
(3)若m+n=p+q(m、n、p、q?N?),则am?an?ap?aq; (4)数列{?an}(λ为不等于零的常数)是公比为q的等比数列; (5)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比数列.
4. 解题的基本方法:
(1) 抓住首项与公比,灵活运用定义、通项公式及前n项和公式是解决等比数列问题的关键.
(2) 等比数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,知道其中任意三个就可以列出方程组求出另外两个(俗称“知三求二”).
(3) 巧设未知量.若三数成等比数列,可设这三数分别为,a,aq (其中q为公比);
aa3(其,,aq,aq3qqaq若四数成等比数列且公比为正整数时,可设这四数分别为中q2为公比).
(4) 若a,b,c成等比数列,常转化为b2?ac或b??ac的形式去运用;反之,求证a,b,c成等比数列,常改证b2?ac或b??ac.
五、基础知识训练： (一)选择题：
1. 数列1,4,…,1999,…( )
A.可能是等差数列,但不是等比数列 B.可能是等差数列,也可能是等比数列 C.可能是等比数列,但不是等差数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列
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2. 等比数列的前3项为a、2a+2、3a+3,则?13为这个数列的( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 3. {an}为等比数列,若
a8?2,S4?4,,则S8的值等于( ) a412 A.12 B.16 C.24 D.32
4. 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a3?2S2?1,a4?2S3?1,,则公比q的值为( ) A.2 B.3 C.6 D.12
5. {an}为等比数列,且an?0,a2a4?2a3a5?a4a6?25,则a3?a5=( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 6. 设{an}是由正数组成的等比数列,且a5a6?81,则
log3a1?log3a2?log3a3???log3a10的值是( )
A.5 B.10 C.20 D.30.
7. 在1与16之间插入三个正数a,b,c,使1,a,b,c,16成等比数列,那么b等于( ) A.2 B.4 C.8 D.
17 28. 设正数a,b,c成等比数列,若a与b的等差中项为A1,b与c的等差中项为A2,则
ac的值为( ) ?A1A2 A.1 B.2 C.4 D.8 9. lga,lgb,lgc成等差数列是a,b,c成等比数列的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 10. 数列1,1+2,1+2+4,1+2+4+8,1+2+4+8+16,…的一个通项公式是( ) A.2n?1?1 B.2n?1 C.2n?1?1 D.2n?2?1 (二)填空题： 11. 等比数列a,-2,b,c,-54,…的通项公式为 . 12. 数列{an}的前n项和Sn?3n?a,要使数列{an}是等比数列,则a的值是 . 13. 在等比数列{an}中,已知a1?a2?a3?30,a4?a5?a6?60,那么a10?a11?a12= . 97
14. 已知公差不为零的等差数列{an}中,a5?10,且a5,a7,a11成等比数列,那么a14= .. (三)解答题：
15. 已知{an}是等比数列,公比为q,前n项和为Sn:
(1)a1?2,S3?26,求q及a3;(2)q?,S5?(3)a1??,a4?96,求q及S4;
16. 已知等比数列{an}为递减数列,a1?an?66,a2an?1?128,其前n项和Sn=126,求公比q.
321231,求a1及a5; 898
6.4数列求和
一、高考要求：
掌握常用的数列求和的方法. 二、知识要点：
特殊数列求和的常用方法主要有:
(1) 直接由等差、等比数列的求和公式求和;
(2) 分组转化法求和,把数列的每一项分成两项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成两部分,使其转化成等差或等比数列,这一求和方法称为分组转化法;
(3) 拆项相消法求和,把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为拆项相消法;
(4) 错位相减法求和,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成,此时求和可采用错位相减法;
(5) 倒序相加求和,如果一个数列{an},与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和与倒着写和的两个式子相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法.
三、典型例题： 例1:求数列1,3,5,7
例2:求数列
例3:求和:Sn?1?2x?3x2???nxn?1.
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1111,,,?,,?的前n项和. 1?33?55?7(2n?1)(2n?1)1214181,?的前n项和. 16012n?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n. 例4: 求证:Cn
四、归纳小结：
应用特殊数列求和的常用方法要注意:
(1) 如果一个数列是等差或等比数列,求和直接用公式,注意等比时q=1的讨论; (2) 分组求和,即转化为几组等差或等比数列的求和;
(3) 拆项求和,以期正、负相消,或转化为几个数列的和差形式;
(4) 错项相减求和,主要应用于一个等差与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和. 如等比数列的求和公式的推导;
(5) 倒序相加求和,主要应用于与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和的数列求和.如等差数列的求和公式的推导.
五、基础知识训练： (一)选择题： 1. 已知数列: A.1?1111,,,…, ,…,则其前n项的和Sn为( )
n(n?1)1?22?33?411n?2n B.1? C. D. nnn?1n?12. 数列1,a,a2,a3,?的前n项的和Sn=( )
?1?an?1?an?11?a1?a(a?1)(a?1)?? A. B. C.?1?a D.?1?a
1?a1?a?n(n?1)?n(n?1)??nn?13. 数列9,99,999,…的前n项和是( )
101010(10n?1)?n B.10n?1 C.(10n?1) D.(10n?1)?n 99911114. 数列1?,2?,3?,4?,?的前n项和是( )
248161n1n1111 A.2?n?n?1 B.2?n?1?n C.(n2?n?2)?n D.n(n?1)?1?n?1
222222221111115. 数列Sn?1?(1?)?(1??)???(1?????n?1)=( )
22424211n?1n A.n B.2n?n?1 C.2n?2?n?1 D.n?1
2222 A.
(二)填空题：
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职高数学复习教案第一轮
