6-1-9.鸡兔同笼问题（二）
教学目标
1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”. 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对
象．
知识精讲
一、鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47?35?12（只）．显然，鸡的只数就是35?12?23（只）了．
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．
假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．
解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍
在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法
例题精讲
两个量的“鸡兔同笼”问题——变例
【例 1】 某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪
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得了79分，他做对了多少道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 做错(5?20?79 ) ?(5?2)?3 (道)，因此，做对的20?3?17 (道)．
【答案】17道
【巩固】 数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次
数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40
分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道．
【答案】15道
【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或
做错一题都要倒扣2分.刘钢得了86分，问他做对了几道题？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题．假设刘钢20道题全对，可得分5?20?100（分），
但他实际上只得86分，少了100?86?14（分），因此他没做或做错了一些题．由于做对一道题得5分，没做或做错一道题倒扣2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少5?2?7（分）．就是刘钢没做或做错多少道题．所14分中含有多少个7，
以，刘钢没做或做错题为14?7?2（道），做对题为20?2?18（道）．
【答案】18道
【巩固】 某次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得6分，每做错一题倒扣2分。小红
最终得44分，做对的题比做错的题多______道。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第8题，假设思想方法 【解析】 ?60?44??8?2，做错2道题，做对8道题，对的比错的多6道。 【答案】多6道
【巩固】 次数学竞赛有10道试题，若小宇得70分，根据图5中两人的对话可知小宇答对
_________题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第12题 【解析】 设答对了x道题，那么10x?5?(10?x)?70，所以x?8，也就是小宇答对了8道
题。
【答案】8题
【巩固】 一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。小华答了18道题，得
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92分，小华在此次比赛中答错了________ 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第12题 【解析】 假设他全答对了，应该的18×8=144分，实际上少了144-92=52分，每答错一道题
少8+5=13分，答错了52÷13=4道题。
【答案】4题
【例 2】 某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天
则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他最多工作了_________天。
【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第5题 【解析】 方法一：假设他没有休息他会得30?48=1440（元），休息一天会少48?12=60（元），
所以他休息了1440?60=24（天），他工作了30?24=6天 方法二：工作一天休息4天刚好抵消，那么最后没拿到钱，他只工作了30÷(4+1)=6
天。
【答案】6天
【例 3】 春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3
分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题.
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】假设思想方法 【解析】 三人共得87?74?9?170(分)，比满分10?10?3?300(分)少300?170?130(分)
因此三个人共做错：130?(10?3)?10(道)题，共答对了30?10?20(道)题 【答案】20
【例 4】 张明、李华两人进行射击比赛，规定每射中一发得20分，脱靶一发扣12分，两
人各射了10发，共得208分，其中张明比李华多64分，则张明射中___________发。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 张明得分（208＋64）?2＝136分，根据鸡兔同笼，
张明脱靶（20×10－136）?（20＋12）＝2，射中8发。
【答案】8发
【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛，两人商定，对一题得20分，不答或答错一
题扣12分。两人各解答了10道题，一共得208分，又知道小明比小刚多得64分。那么小刚做对了 道题。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初试，10题 【解析】 小刚得了?208?64??2?72（分）,如果小刚10道题都做对了，应得200分，实际
得72分，所以错了?200?72???20?12??4（道），做对了10?4?6（道）。
【答案】6道
【巩固】 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1
分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
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【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 法一：如果小明第一次测验24题全对，得5?24?120(分).那么第二次只做对
30?24?6(题)得分是8?6?2?(15?6)?30(分).两次相差120?30?90(分).比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5?1?6(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8?2?10分.两者两差数就可减少
第一次答对题数要比假设(全对)6?10?16(分).(90?10)?(6?10)?5(题).因此，
减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30?19?11(题).第一次得分5?19?1?(24?9)?90.第二次得分8?11?2?(15?11)?80. 法二：答对30题，也就是两次共答错24?15?30?9(题).第一次答错一题，要从满分中扣去5?1?6(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去8?2?10(分).答错题互换一下，两次得分要相差6?10?16 (分).如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6?9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6?9?10.
因此，第二次答错题数是(6?9?10)?(6?10)?4(题).第一次答错9?4?5(题). 第一次得分5?(24?5)?1?5?90(分).第二次得分8?(15?4)?2?4?80 (分).
【答案】第一次得分90分.第二次得分80分.
【例 5】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的
价格为40元，如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 每个三口之家可以少花30?40?40?32?3?14（元），每个二口之家可以少花
，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花14?8?11240?40?64?16（元）
（元），所以这8个家庭中有（120?112）?（16?14）?4（个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4?2?． （8?4）?3?20（人）
【答案】20人
【例 6】 一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，
不得分也不扣分．若小明得了78分，那么他做对 题，做错 题，没做 题．
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】假设思想方法，祖冲之杯 【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索． 小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分．
所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于4?19?76(分)； 78?4?19，
再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4?21?1?4?80(分)，
超过了78分，所以小明至多做对20道题目；
综上，可以断定小明做对了20道题． 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题．
假设剩下5题全部没做，那么小明应得4?20?80(分)．
但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做． 所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题． 【答案】对了20道题，做错了2道题，没做3道题
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【例 7】 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆．已知每辆大卡车比每
辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨．利用假设法，
假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4?36?144 (吨)．根据条件，要装完这144吨钢材还需要45?36?9(辆)小卡车．这样每辆小卡车能装144?9?16(吨)．由此可求出这批钢材有720吨．
【答案】720吨
【例 8】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话：小波：“阿姨，您好！” 售货员：“同学，
你好．想买点什么？”小波：“我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本．”售货员：“好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请拿好．再见．”根据这段对话，则钢笔每支是 元，笔记本每本是 元．
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第14题 【解析】 一共花了100?5?95元。如果是买25本笔记本可以少花10?2?20元，即75元。
所以每本笔记本3元，每支钢笔5元
【答案】5元
【例 9】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40
张,那么两种邮票各买了多少张
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. 因此8分邮票有 40+30=70(张).
解二:譬如,假设有20张4分,根据条件\分比4分多40张\那么应有60张8分.以\分\作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.
比680少,因此还要增加邮票.为了保持\差\是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).
因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
【答案】4分有30张,8分有70张.
【例 10】 喜羊羊的存钱罐中只有5角和1元的硬币共100枚，其中5角的硬币比1元
的硬币多20元，喜羊羊的存钱罐中总共有________钱。
【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第3题 【解析】 60元。20?0.5?40枚，?100?40??3?20枚，20??100?20??0.5?60元。 【答案】60元
【例 11】 小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数
算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币
比一个2分币多3分，所以5分币有84?（个），2分币有28?22?50（个），（5?2）?28． 5?28?2?50?1?36? 140?100?36?276（分）
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小学奥数：鸡兔同笼问题(二).专项练习及答案解析
