?注5：当从右边趋近于时，即x?x0,x?x0，我们记作x?x0，只
需把上面定义中的0?x?x0??（去心邻域）改为x0?x?x0??（右
f?x??A或f?x??A,?x?x0?改为limf?x??A或半邻域）；把xlim?x0?x?x0?； f?x??A,x?x0???当从左边趋近于时，即x?x0,x?x0，我们记作x?x0，只需把上
面定义中的0?x?x0??（去心邻域）改为x0???x?x0（左半邻
f?x??A或f?x??A,?x?x0?改为limf?x??A或域）；把xlim?x0?x?x0?。 f?x??A,x?x0??例6：证明：limx?2?x2?4x?4x?42?4
证明：对于任给的（任意小）??0，
x2?4x?4x?42?4?x?2?4?x?2（注意x?2）
取???，当2?x?2??时有
x2?4x?4x?42?4??
所以limx?2?x2?4x?4x?42?4。
2）、函数极限的性质
性质1 ：（唯一性）如果数A,B是函数f?x?当x?x0时的极限，则一定有A?B。
证明 ：假设A?B。无妨设A?B，取??A?B。因为2limx?xf?x??A，所以存在正数，当x?x0??01时有
f?x??A???A?B2 又因为xlim?xf?x??B，因此存在正数，当x?x00??2时有 f?x??B???A?B2 取??max??1,?2?，当x?x0??时有
A?B??f?x??B???f?x??A??f?x??B?f?x??A?A?B
这是一个矛盾，从而证明A?B成立。
性质2 ：（局部有界性）如果xlim?xf?x??A，则存在正数?,M00?x?x0??时，一定有f?x??M。
证明 ：因为xlim?xf?x??A，取??1，则存在正数，00?x?x0??时有
f?x??A???1
即有
当当，f?x??A?f?x??A?1?f?x??1?A
取
M?1?A
则得所证结论。
f?x??A而且A?0（或A?0）那么性质3：（局部保号性）如果xlim?x0就存在着点的某一去心邻域当在该邻域内时就有f?x??0（或
f?x??0）。
?Af?x??A，所以一，因为xlim?x02证明 ：如果A?0，我们取??定存在正数当0?x?x0??时有
f?x??A????A 2即有f?x??A??AA??0。 22性质4：如果在的某个去心邻域内有f?x??0（或f?x??0）,而且
limf?x??A，那么A?0（或A?0）。
x?x0证明 ：设当0?x?x0??时有f?x??0。用反证法，假设这时有A?0，根据性质3，存在的一个去心邻域有，这与当时有矛盾。所以A?0。▍
作业：1题1、4小题、2题1、2小题、5题、7题。 思考题：你认为用极限的定义去证明极限的存在，最难处理的是哪个步骤？处理这个步骤你有何经验？
华南理工大学高等数学教学课件7
