第三节 函数的极限
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义 ：设函数f?x?当x大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的??0（任意小）总存在正数，当x?X时，一定有
f?x??A??
那么常数称为函数f?x?当x??时的极限，记为lx?im?f?x??Af?x??A?x???。
1例1 ：证明 1）lim6x?5x??x?6；2）limx??ax?1?0?a?1? 证明：1）对于任给的（任意小）??0，
6x?55x?6?x?5x 取X?5?，当x?X时有
6x?5x?6?? 所以lim6x?5x??x?6。（如图6） 注 1：直线y?6称为函数y?6x?5x的水平渐近线。 2）对于任给的（任意小）??0，
或，要使a?1??，即1???a?1???a1x1xloga?1????a?aloga?1???
1x当0?a?1时，指数函数是递减的，所以
loga?1????1?loga?1??? x令M?max???11,?，则当?M?x?x?0?时有 ????log1???log1??a?a?loga?1????11???loga?1??? xM当x?M?x?0?时有
loga?1????11??loga?1??? Mx即当x?M时总有
loga?1????1x1?loga?1??? xa?1??
a?1?0?a?1?。 所以limx??1x注2:x??有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。我们来考虑函数f?x??arctanx（如图7）。因此有时我们需要考虑某一个方向的极限，即所谓的单侧极限。 注 3：当x?0时，且x无限增大。即x???。则定义中的
x?X改为x?X，极限记为limf?x??A。
x???当x?0时，且x无限增大。即x???。则定义中的x?X改为
x??Xf?x??A。 ，极限记为xlim???例2：证明：xlim???sinx?0 x证明：对于任给的（任意小）??0，
sinxsinx1?0?? xxx取X?，当x?X时有
?sinx?0?? x1所以xlim???sinx?0。 x二、自变量趋于有限值时函数的极限 1）、函数极限的定义
定义 ：设函数f?x?在点的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数（任意小），总存在正数，使得对于适合不等式0?x?x0??的一切，对应的函数值f?x?都满足不等式
f?x??A??
f?x??A，或那么常数就叫做函数f?x?当x?x0的极限。记为xlim?x0f?x??A,?x?x0?。
x2?12?例3 ：证明 lim。 x?12x2?x?13证明：对于任给的（任意小）??0，
?x?1??x?1??2?x?1?2??x?1?1x?1 x2?12??2x2?x?13?2x?1??x?1?32x?133?2x?1?6x?3令x?1?，则有1?x?x?1??x?
x2?1211??x?1?x?1?x?1
6x?32x2?x?136x?3?取??min??,??，当0?x?1??时有
?1?3131323x2?12??? 232x?x?1x2?12?所以lim。 x?12x2?x?132例4：证明lim1?x2?1?x0。
x?x0证明：对于任给的（任意小）??0，
1?x?1?x?2202x2?x01?x?1?x220?x?x01?x20x?x0
令x?x0?1，则有x?x0?x?x0?1?x?1?x0
1?x?1?x?220x?x01?x20x?x0?1?2x01?x20x?x0
2??1?x0??取??min?1,??，当0?x?x0??时有
1?2x0????21?x2?1?x0??
2所以lim1?x2?1?x0。
x?x0cosx?cosx0。 例5：证明xlim?x0证明：证明：对于任给的（任意小）??0，
cosx?cosx0?2sinx?x0x?x0x?x0sin?2sin?x?x0（注解） 222取???，当0?x?x0??时有
cosx?cosx0??
cosx?cosx0。 所以xlim?x0注4：函数极限的几何意义（如图9）。前面我们考虑的自变量趋于有限值时函数的极限是同时考虑从左右两边趋近于这个有限数。有时我们也选考虑从一边趋近于这个有限数，即所谓单侧极限。如函数f?x????2x?1?x?32x?0x?0当x?0时，此函数从左右两边
越来越接近的数是不一样的。（如图10）
华南理工大学高等数学教学课件7
