课时跟踪检测（二十） 从力做的功到向量的数量积
一、基本能力达标
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为 ( ) A.π6 B.π4 C.πD.π3
2
解析：选C 由题意，知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π
3
.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为3
2，则a·b等于 A．3 B.92 C．2
D.12
解析：选B 设a与b的夹角为θ.∵|a|cos θ＝3
2，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝3×39
2＝2
.
3．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝( ) A．1 B.7 C．4＋3 D．27
解析：选B 根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝7.故选B.
4．若AB·
BC＋AB2＝0，则△ABC为 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A AB·
BC＋AB·AB＝0， AB·
(BC＋AB)＝0，AB·AC＝0， ∴AB⊥AC，∴∠A＝90°. ∴△ABC为直角三角形．
5．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝13，则|b|＝ A．5 B．4 C．3
D．1
解析：选B ∵|a＋b|＝13， ∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13， 也就是|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝13.
( )
( ) ( ) 将θ＝120°，|a|＝3代入可得|b|2－3|b|－4＝0. 解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
1
6．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.
3解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3. 答案：3
7．如果a，b，a－b的模分别为2,3，7，则a与b的夹角为________．
1
解析：设a与b的夹角为θ，由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，得7＝13－12cos θ，即cos θ＝.又
2π
0≤θ≤π，故θ＝.
3π答案：
3
CA＋AB·BC＝________. 8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，则BC·
CA解析：注意到BC与CA，AB与BC所成的角都是等边三角形的外角，为120°，故BC·BC＝2×(2×2×cos 120°＋AB·)＝－2.
答案：－2
9．设非零向量a和b，它们的夹角为θ.
(1)若|a|＝5，|b|＝4，θ＝150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积； (2)若a·b＝9，|a|＝6，|b|＝3，求b在a方向上的投影和a与b的夹角θ. 解：(1)a在b方向上的投影为 53
|a|cos θ＝5cos 150°＝－，
2
a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 150°＝－103. a·b93(2)b在a方向上的投影为|b|cos θ＝＝＝. |a|62a·b91
∵cos θ＝＝＝，且0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
|a||b|6×3210．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)? 1
－?＝－16. 解：由已知，a·b＝4×8×??2?(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64 ＝3×162， ∴|4a－2b|＝163.
(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)， 则(a＋2b)·(ka－b)＝0. ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
二、综合能力提升
1．若非零向量a，b满足|a|＝
πA. 43πC. 4
22
|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( ) 3
πB. 2D．π
解析：选A 由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝228222
|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|·cos θ－2|b|2＝3330.∴cos θ＝
2π
.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 24
2．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是 ( ) A．矩形 C．直角梯形
B．菱形 D．等腰梯形
解析：选B ∵AB＝DC，即一组对边平行且相等，AC·BD＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
3．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)为( ) A．0 C．b
B．a D．c
解析：选B a·(b·c)＝a·(|b||c|·cos 45°)＝a·1×2×
?
?2?
＝a.故选B. 2?
4．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于 ( ) 4
A. 94C．－
3
4B. 34D．－
9
2
解析：选A ∵AM＝1，且AP＝2PM，∴|AP|＝.
3
如图，AP·(PB＋PC)＝AP·2PM＝AP· 2?24AP＝(AP)2＝??3?＝9.
5．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是________． 解析：由|a＋b|2＝|a－b|2知a·b＝0. 又|a－b|2＝4|a|2， ∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2. ∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝3|a|.
?a＋b?·?a－b?|a|2－|b|21∴cos θ＝＝＝－. 22
4|a|4|a|22π
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
32π答案：
3
7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°. (1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
1解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1×4×＝2，
2∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12. (2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0， ∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0， ∴λ＝12.
8．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
解：(1)∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|. ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2. c2－a2－b2∴a·b＝
2
|c|2－|a|2－|b|249－9－2515＝＝＝.
222又∵a·b＝|a||b|cos θ，∴1
∴cos θ＝，θ＝60°.
2(2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0. ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0. ∴9μ－2×25－2μ×85∴μ＝－. 12∴存在μ＝－
85
，使得μa＋b与a－2b垂直． 12
1515＋＝0. 22
15
＝3×5×cos θ. 2
北师大版高中数学必修四同步课时跟踪检测(二十)从力做的功到向量的数量积
