高考数学大一轮复习 第5章 第1节 数列的概念及简单表示法课时作业 理

课时作业(三十) 数列的概念及简单表示法

一、选择题 1．数列

51017a－b，，，，…中，有序实数对(a，b)可以是( ) 38a＋b24

B．(16，－1) 11??41

D．?，－?

2??2

A．(21，－5)

?4111?C.?－，?

?22?

答案：D

解析：由数列中的项可观察规律，得

5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2，

??a＋b＝15，则?

?a－b＝26，?

41

a＝，??2解得?11

b＝－.??2

故应选D.

??2an

2．(2015·山西长治4月)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝?

?an＋1 ?

n为正奇数，

n为正偶数，

则其前6项之和为( )

A．16 C．33 答案：C

解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故应C.

1

2a，0≤a<，??2＝?1

2a－1，≤a<1，??2

nnnnB．20 D．120

3．数列{an}满足an＋1

2

若a1＝，则a2 015等于( )

5

1A. 53C． 5答案：B

2141

解析：∵ a1＝<，∴ a2＝>，

5252312

∴ a3＝，a4＝，a5＝，

555

2

B． 54D． 5

∴ 数列具有周期性，且周期为4， 3

∴ a2 015＝a3＝，

5故应选C.

4．(2015·北京东城一模)已知函数f(n)＝ncos nπ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋

2

a2＋a3＋…＋a100＝( )

A．0 C．100 答案：B

??－n 2

解析：f(n)＝ncos nπ＝?2

?n ?

n2

B．－100 D．10 200

n为奇数，n为偶数

2

＝(－1)·n，

2

n2

由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)·n＋(－1)

＋1

n＋1

·(n＋1)＝(－1)[n－(n＋1)]＝(－1)

n22n·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－

2)＝－100.故应B.

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想

2

an等于( )

A.C.

2

n＋12 2－1

n2

B．

n2

n＋1

2D． 2n－1

答案：B

解析：∵S2＝2·a2，∴1＋a2＝4a2， 1∴a2＝.

3∵S3＝3·a3， 1

∴1＋＋a3＝9a3，

3∴a3＝

1. 2×3

22

2

∵S4＝4·a4，

11∴1＋＋＋a4＝16a4，

32×3∴a4＝

12＝. 2×54×5

2

. n＋1

2222

可见a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝

1×22×33×44×5n

实际上，此题用a1＝1代入各选项验证最简单． 故应选B.

6．数列{an}的通项公式为an＝an＋n，若满足a1an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是( )

1??1

A.?－，－?

17??91??1

C.?－，－?

17??9答案：D

1

解析：可以把an看成是关于n的二次函数，根据其对称轴为n＝－，易知对称轴应满

2a911711足<－<，解得－

故应选D. 二、填空题

11

7．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.

2an1

答案： 2

1111

解析：由题意知，a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周

a1a2a321

期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.

2

8．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝答案：2

解析：将a1＝1，a2＝2代入an＝

1??1

B．?－，－?

17??91??1

D．?－，－?

17??9

2

an－1

(n≥3)，则a2 013＝________. an－2

an－1

，得 an－2

a2

a3＝＝2，

a1

11

同理可得a4＝1，a5＝，a6＝，

22

a7＝1，a8＝2，

故数列{an}是周期数列，周期为6， 故a2 013＝a335×6＋3＝a3＝2.

9．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.

??3，n＝1，答案：?n?2，n≥2?

n＋1

解析：由已知条件，可得Sn＋1＝2则Sn＝2

n＋1

.

－1，

当n＝1时，a1＝S1＝3， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2

?3，n＝1，?

故an＝?n??2，n≥2.

n＋1

－1－2＋1＝2，n＝1时不适合上式，

nn

10．对于正项数列{an}，定义Hn＝数列的“光阴”值为Hn＝

n为{an}的“光阴”值，现知某

a1＋2a2＋3a3＋…＋nan2

，则数列{an}的通项公式为________． n＋2

2n＋1*

答案：an＝，n∈N

2n解析：由Hn＝

n，可得

a1＋2a2＋3a3＋…＋nannnn＋2

a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，①

Hn2

当n≥2时，

a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝

①－②，得nan＝2n＋1

所以an＝.

2nn－1

2

n＋1n＋1

，② 2n＋1＝，

2

nn＋2

2

－

n－1

2

3

又n＝1时，由①可得a1＝，也适合上式，

22n＋1*

所以数列{an}的通项公式为an＝，n∈N.

2n三、解答题

11．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝(1)求a2，a3；

(2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)∵Sn＝

n＋2

an.

3

n＋2

an，且a1＝1，

3

44

∴S2＝a2，即a1＋a2＝a2，得a2＝3.

33

5

由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，得a3＝6.

3(2)由题设知a1＝1. 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝整理，得an＝

n＋2n＋1

an－an－1，

3

3

n＋1ann＋1

an－1，即＝， n－1an－1n－1

a2a34a45ann＋1

于是＝3，＝，＝，…，＝，

a1a22a33an－1n－1

以上n－1个式子的两端分别相乘，得＝∴an＝

annn＋1

，

a12

nn＋1

2

，n≥2.

又a1＝1适合上式，故an＝

nn＋1

2

，n∈N.

2

*

12．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n＋1，数列{bn}满足bn＝设cn＝T2n＋1－Tn.

(1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性．

解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 1

??n，n≥2，n∈N，

∴ b＝?2

??3，n＝1.

*

2

，且前n项和为Tn，an＋1

n

(2)∵ cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝

111＋＋…＋， n＋1n＋22n＋1

111∴ cn＋1－cn＝＋－

2n＋22n＋3n＋1＝

2n＋2

－n－12n＋3

n＋1

<0，

∴ {cn}是递减数列．

??3

13．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，an＋1－an＝6n＋2，点?，bn?在y＝x＋mx的图象上，

?

{bn}的最小项为b3.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求m的取值范围．

an?n