三角形“四心”向量形式的充要条件应用
在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：
一． 知识点总结 1）O是?ABC的重心?OA?OB?OC?0;
若O是?ABC的重心，则uuuruuuruuuruuur1PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心. 3S?BOC?S?AOC?S?AOB?1S?ABC3故OA?OB?OC?0;
2）O是?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA;
tanB：tanC 若O是?ABC(非直角三角形)的垂心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?tanA：故tanAOA?tanBOB?tanCOC?0
3）O是?ABC的外心?|OA|?|OB|?|OC|(或OA?OB?OC)
若O是?ABC的外心
sin?AOC：sin?AOB?sin2A:sin2B:sin2C 则S?BOC：S?AOC：S?AOB?sin?BOC：故sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0
4）O是内心?ABC的充要条件是
222OA?(AB|AB|?ACAC)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB,BC,CA的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是
?ABC内心的充要条件可以写成：OA?(e1?e3)?OB?(e1?e2)?OC?(e2?e3)?0 O是?ABC内心的充要条件也可以是aOA?bOB?cOC?0 若O是?ABC的内心，则S?BOC：S?AOC：S?AOB?a：b：c
故 aOA?bOB?cOC?0或sinAOA?sinBOB?sinCOC?0; uuuruuuruuuruuuruuuruuurr|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心;
uuuruuurACABuur?uuur)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分向量?(u|AB||AC|线所在直线)；
二． 范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA??(A e1e2C B P ABAB?ACAC)，???0,???则P点的轨迹一定通过?ABC的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为
ABABuuuruuuruuur是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2，又
OP?OA?AP，则原式可化为AP??(e1?e2)，由菱形的基本性质知AP平分?BAC，那么在?ABC中，AP平分?BAC，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？没见过！想想，一个非零
向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H是△ABC所在平面内任一点，HA?HB?HB?HC?HC?HA?点H是△ABC的垂心. 由HA?HB?HB?HC?HB?(HC?HA)?0?HB?AC?0?HB?AC,
同理HC?AB，HA?BC.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（D ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.
即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0 则PB?CA,同理PA?BC,PC?AB 所以P为?ABC的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
变式：若H为△ABC所在平面内一点，且HA?BC?HB?CA?HC?AB 则点H是△ABC的垂心
证明: ?HA?HB?CA?BC
?(HA?HB)?BA?(CA?CB)?BA 得(HA?HB?CA?CB)?BA?0
H B 图6 2222222222A 即(HC?HC)?BA?0
?AB?HC
C 同理AC?HB，BC?HA 故H是△ABC的垂心
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一点，GA?GB?GC=0?点G是△ABC的重心.
证明 作图如右，图中GB?GC?GE
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC?BGCE为平行四边形?D是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将GB?GC?GE代入GA?GB?GC=0，
得GA?EG=0?GA??GE??2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心?PG?(PA?PB?PC). 证明 PG?PA?AG?PB?BG?PC?CG?3PG?(AG?BG?CG)?(PA?PB?PC) ∵G是△ABC的重心
∴GA?GB?GC=0?AG?BG?CG=0，即3PG?PA?PB?PC
由此可得PG?(PA?PB?PC).（反之亦然（证略））
3uuuruuuruuurr例6若O 为?ABC内一点，OA?OB?OC?0 ，则O 是?ABC 的（ ）
1BA13OEDCA．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
uuuruuuruuurruuuruuuruuur解析：由OA?OB?OC?0得OB?OC??OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则uuuruuuruuuruuur1uuurOB?OC?OD，由平行四边形性质知OE?OD，OA?2OE，同理可证其它两边上的这个性质，
2所以是重心，选D。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三
2角形中线的内分点，所分这比为??。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形
1的对角线互相平分及三角形重心性质等相 关知识巧妙结合。
变式：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．则AD?BE?CF?0． 证明：
3?AD??GA?2? 3???BE??GB2??CF??3GC?2?uuuruuuruuur3?AD?BE?CF??(GA?GB?GC)
2 ?GA?GB?GC?0
uuuruuuruuur ?AD?BE?CF?0．．
变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，
uuur1uuuruuuruuuruuur则PO?(PA?PB?PC?PD)．
4uuur1uuuruuuruuur1uuuruuur 证明：QPO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，
22uuur1uuuruuuruuuruuur ?PO?(PA?PB?PC?PD)．
4点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则， 证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）
uuuruuuruuuruuur若P与O重合，则上式变OA?OB?OC?OD?0．
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
(完整word版)【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)
