中考数学方程思想专题复习（北师大版）
所谓“方程思想”，就是先分析问题中的未知元素（未知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个数的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题途径的思想，解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数；其次，适当选择一（几）个未知量用x（y，z，…）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系；再根据题设中的条件 （这类条件常常是隐含的），利用已有知识列出方程（组），并求解。
一、方程思想在基本概念问题中的应用 例1、（2005荆州）单项式－x13a?bya?1与3x2y是同类项，则a?b的值为（ ）
A．2 B．0 C．－2 D．1
分析：根据同类项的定义 “所含字母相同，相同字母的次数也相同”可以列出方程组：??a?b?2,?a?1?1.?a?2,解之，得?所以a?b=2。
b?0.?解：A。
点拨：本例是根据满足同类项的条件，由相等关系列出方程组解决的。
例2、若函数y?mxm2?m?1?5是一次函数，且y随x的增大而减小，则m=_______。
?m2?m?1?1,分析：根据题意可知：?解之得m??1.
?m?0.解：?1。
点拨：根据条件列出含有未知数的等式（方程）是解题关键。
二、方程思想在确定函数解析式中的应用 例1、（2005贵阳）已知点P?2,?1?在双曲线y?k?k?0?上，则k?_____. x第 1 页 共 6 页
分析：∵P?2,?1?在双曲线y?之得k??2。
kk?k?0?上，∴x?2时，y??1，从而可得方程?1?，解
2x点拨：注意函数图象上的点与函数解析式的关系。
例2、（2005无锡）如图4－1，一次函数y?kx?n的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，23），线段AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点D。
（1）试确定这个一次函数关系式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的函数关系式。
分析：（1）由一次函数y?kx?n过（6，0）和（0，23），代入后得关于k,n的方程组，解这个方程组即可确定k,n的值，从而确定函数解析式；
（2）先确定出点C的坐标，然后运用待定系数法求解。
图1
y B D O C A x
?36k?n?0,?k??,??解：（1）根据题意可得?解之得?3。
??n?23.?n?23.?∴y??3x?23。 3（2）在Rt△ABO中，tan?BOA?623?3，
∴∠BAO=30°， ∵AB=OA?OB?∴AD=
2262?23??2?43，
1AB=23。 2∴AC?AD23??4。
cos30?32∴OC=2，C（2，0）
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?4a?2b?c?0,?2设过A、B、C三点的抛物线的函数关系式为y?ax?bx?c，∴?36a?6b?c?0,
??c?23.?3a?,?6??43?, 解之得?b??3??c?23.???3243x?x?23. 63∴y?点拨：待定系数法求函数解析式实质就是解方程（组）。
三、列方程（组）解实际问题
例1、（2005资阳）已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙
队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元。
（1） 甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
（2） 若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由。
分析：列方程解应用题的关键是找出题目中的等量关系，本题中有两个相等关系：一是甲、乙两队合做12天可以完成这项工程；二是乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天。根据题意可以设出未知数，列出方程（组）求解。
解：（1） 设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要（2x－10）天。 根据题意有
111=，解得x1=3（舍去），x2=20。 ?x2x?1012∴ 乙队单独完成需要 2x－10=30 （天）。
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天。 （2） 设甲队每天的费用为y元，则由题意有 12y+12（y－150）=138000，解得y=650 。
∴ 选甲队时需工程费用650×20=13000，选乙队时需工程费用500×30=15000。 ∵ 13000 <15000，
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∴ 从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队。
点拨：方程思想的最大应用就是列方程解实际问题，要注意的是求得的解必须符合实际意义，即需要检验。
例2、一少年问一长者今年多少岁？长者对少年说：“等你到我这样岁数时，我已是60岁的老头；而当我像你一样大时，你还是个6岁的顽童。” 分析：假如没有方程的思想，谁也想不到如下的解法，该少年也就不可能知道长者的年龄。设长者的年龄为x岁，少年的年龄为y岁，长者比少年多z岁，则不论哪一年两人的年龄都满足关系：长者的年龄－少年的年龄=z，根据这一关系可列出方程组求解。
解：设长者的年龄为x岁，少年的年龄为y岁，长者比少年多z岁，
?60?x?z,?x?42,??根据题意可得方程组：?y?6?z, 解得 ?y?24, 。
?x?y?z.?z?18.??答：长者今年42岁。
点拨：当用一个未知数列方程比较困难时，有时可以改用列方程组的方法求解，但在列方程时未
知数要选择好，否则可能加大解题的难度。
四、方程思想与几何计算
例1、（2005北京）如图2，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。 分析：本题需要利用直角三角形的边角关系求解。可以作AB⊥CD交CD的延长线于点B，这样得到两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ABD，且∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°。若设AB?x，则根据直角三角形的边角关系可以用含x的代数式分别表示出CB和BD的长，利用BC－BD=CD的等量关系可以列出方程求出x，从而求出AC的 长。
解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B.在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°， ∴AC＝2AB，DB＝AB。
设AB?x，则BD?x，AC?2x，CB?50?x，
图2
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?tan∠ACB?AB， CB?AB?CB·tan∠ACB?CB·tan30?
3?50?x? 。 解得x?251?3 。 3?x????AC?501?3（米）
答：缆绳AC的长为501????3米。
?点拨：本题中作辅助线，构造直角三角形是解题关键，体现了数学建模思想的应用。
例2、（2005绵阳）如图3，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ） 。
A．400 cm2
B．500 cm2 C．600 cm2
D．4000 cm2
分析：要求其中一个小长方形的面积，必须确定这个小长方形的长和宽。若设其中一个小长方形的长为x，宽为y，根据题意及图形可列方程组??2x?x?4y,?x?40,解之，得?。
x?y?50.y?10.??图3
∴一个小长方形的面积为40×10=400 cm2。 解：A。
点拨：把矩形图案的长分别用2x和x?4y表示是解题关键。
O
例3、（2005天津）如图4－4，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一
点，若AB＝10cm，PB＝4cm，OP＝5cm，则⊙O的半径等于______________cm。
分析：通过作辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理解决。 解：连接OA，作OD⊥AB于点D，则AD=BD=
222APDB图4 1AB=5。所以PD=BD?PB=5—4=1。 2222设OA=x，在Rt△AOD中，OD?AO?AD，在Rt△POD中，OD?PO?PD， ∴AO?AD=PO?PD， ∴x?5?5?1，解之，得x?7。
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2024中考秘笈之中考数学方程思想专题复习
