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北约自主招生数学模拟试题一
一、选择题（本题满分48分，每小题8分）
1．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<
1的最小整数n是（ ） 125 A．5 B．6 C．7 D．8 2．设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式
111??（ ） PQPRPS ，则
B．有最小值而无最大值
D．是一个与面QPS无关的常数
2005n?1A．有最大值而无最小值 C．既有最大值又有最小值，两者不等
3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=
3xn?13?xn
?xn=（ ）
A．1 B．-1
C．2+3
D．-2+3
4．已知a=(cos
22π, sinπ), OA?a?b, OB?a?b，若△OAB是以O为直角顶点的等33
B．
腰直角三角形，则△OAB的面积等于（ ）
A．1
1 2 C．2 D．
3 2x2y2??1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）5．过椭圆C：，延长32PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取
值范围为（ ）
A．(0,3] 3
B．(33,] 32
C．[3,1) 3
D．(3,1) 2b6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且x=logb(4x-4)的根，则△ABC（ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 C．是等腰直角三角形 二、解答题（每小题18分，共72分） 7．已知a, b, c∈R+，且满足
CsinB，都是方程logAsinAB．是直角三角形，但不是等腰三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
kabc≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。
a?b?c8.求所有实多项式f和g，使得对所有x∈R，有：(x2+x+1)f(x2-x+1)=(x2-x+1)g(x2+x+1)。 9．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。 10．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,
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（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；
（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b； （3）当0 参考答案： . . 一、选择题 1．由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为- 1的等比数列，∴318[1?(?)n]3=6-6×(-1)n，∴|S-n-6|=6×(1)n<1，得：Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)=n1331251?33n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。 2．设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vS-PQR= △PQR 1S311(PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则321111d1vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS，S△PQR·d=△PRS·d+S△PRS·d+△PQS·d=?PQ·PRsin 333332d1d1α+?PS·PRsinα+?PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ 3232·h= =d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即 111sin????=常数。故选D。 PQPRPSd3?3，3．xn+1=令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+3, x3=-2-3, 631?xn3xn?x4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1，……，∴有 2005n?1?xn?x1?1。故选A。 ??(a?b)(a?b)?04．设向量b=(x, y)，则?， ??|a?b|?|a?b|?1313(x?,y?)?(?x?,?y??022??x?y?131??2222,)或即?，即?. ∴b?(22??(x?1)2?(y?3)2?(x?1)2?(y?3)2?x?3y?2222?(?311,)，∴S△AOB=|a?b||a?b|=1。 2225．设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH， 3(1??)?x?HP?1?x1??所以，所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得Q?PQ1????y1?y. . [x?3(1??)]2y23?2?223??1点轨迹为，所以离心率e=?1??[,1)。故选2223?33?23?C。 6．由log bx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°， 所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=二、解答题： 7．解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2ab)2+(22ac+22bc)2= 11，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。 42(a?b)2?(a?b?4c)2?(a?b?c) 4ab+8ac+8bc+16cab。所以 abc221abc5≥8(53)?(5)?100。 22242abc2 当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。 8、设w是1的非实的立方根，满足w2+w+1=0，则g(w2+w+1)g(0)=0，设α为-1的非实的立方根，则f(α2-α+1)=f(0)=0，故可设：f(x)=x·a(x)；g(x)=x·b(x)。因此原条件可化为：a(x2-x+1)=b(x2+x+1)。令x=-y，得：a(y2+y+1)=b(y2-y+1)， 1]。下面证明无穷多个n使得：a(n2+3n+3)=a(1)。由n=1可得：a(1)=a(7)，假设a[(n-1)2+3(n-1)+3]=a(1)(n≥2)，则a[(n+1)2+3(n+1)+3]=a[(n+2)2+(n+2)+1]=a[(n+1)2-(n+1)+1]=a[(n-1)2+3(n-1) +3]=a(1)。由于多项式a(x)-a(1)有无穷多个根，所以a(x)-a(1)是零多项式，即a(x)为常数，因此f(x)=kx，类似可知：g(x)=kx。 9．以l为x轴，点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x2?22=1+r。所以x= ±r2?2r?3, ∴tan∠MAN= kAN?kAM1?kAN?kAMo?ro?h??x?r?hx?r?h o?ho?h1??x?r?hx?r?k?2rh2rh2rh??(x?k)2?r2?h2(?r2?2r?3)2?r2?h2h2?k2?3?2r?2kr2?2r?31，所以m+r?kr2?2r?3=nhr，∴m+(1-nh)r=n，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ?kr2?2r?3，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实?m2??3k2(1)?2数r≥1，上式恒成立，所以?2m(1?nh)?2k(2)，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3） ?(1?nh)2?k2(3)?. . 式，得n= 11。由2m=h2+k2-3得h=±3，所以tan∠MAN==h=±3。所以∠MAN=60°hn或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。 a2a2a2a10（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)+，∴f()=≤ 4b2b2b4b1，∵a>0, b>0, ∴a≤2b。 （2）证：（必要性），对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1?-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥ -1，∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1?f(x)≤1，因为b>1，可推出f( 1b)≤1。即a·1b-≤1，∴a≤2b，所以b-1≤a≤2b。 （充分性）：因b>1, a≥b-1，对任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b>1，a≤2b，对任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx2≤2b-bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。 综上，当b>1时，对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b。 （3）解：因为a>0, 0 f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1； f(x)≤1?f(1)≤1?a-b≤1，即a≤b+1； a≤b+1?f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。 所以，当a>0, 0 .
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