2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修II）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题（每题6分） 1、复数
?1?3i= 1?iA 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i
2、已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，AUB＝A，则m = A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为
x2y2x2y2x2y2x2y2A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 1612128841244 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 A 2 B
3 C 2 D 1
5 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列??1??的前100项和为
?anan?1?A
1009999101 B C D 101101100100CA?b，a·b=0，|a|=1，|b|=2，则AD? 6 △ABC中，AB边的高为CD，若CB?a，A
11223344a?b B a?b C a?b D a?b 333355553，则cos2α= 37 已知α为第二象限角，sinα＋cosα=A -5555 B - C D 933922x?y?2的左、8 已知F1、F2为双曲线C：右焦点，点P在C上，PF则cos?F1PF2? 1?2PF2，
A
1334 B C D 4545?129 已知x?ln?，y=log52，z?e，则
A x＜y＜z B z＜x＜y C z＜y＜x D y＜z＜x
310 已知函数y?x?3x?c的图像与x轴恰有两个公共点，则c?
A -2或2 B -9或3 C -1或1 D -3或1
11 将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
12 正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝
3。动点P从E出7发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
A 16 B 14 C 12 D 10
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题5分，共20分）
?x?y?1?0?13 若x，y满足约束条件?x?y?3?0则z?3x?y的最小值为___-1_____。
?x?3y?3?0?14 当函数z?sinx?3cosx(0?x?2?)取得最大值时，x=?。
5615 若(x?)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中
1xn1的系数为__56__。 2x16 三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， ?BAA1=?CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为?1 。 6
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．．．．
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求C. 解：由cos（A-C）＋cosB=1 得
cos(A-C) + cos(1800-(A+C))=1
即 2sinAsinC=1
又因为a=2c，由正玄定理知：sinA=2sinC，将其代入上式得：
sinC=
1，由题意知C为锐角，所以C=60o 2
18 （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22， PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC. （Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。
（I）证明：建立空间直角坐标系如图，则有各点坐标为：P（0，0，2），
z
x y
A（0，0，0），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,2,0），E（因为PE?BE?(?0,442，，） 333442442?0,?2)?(?2,?0,?0)
333333444242424442?(,,?)?(?,,)??(?)???(??)333333333333 ?0同理：PE?DE?0 所以 PE?BE，PE?DE
又 DE，BE?平面BED，所以PE⊥平面BED，即PC⊥平面BED。
(II) 设n(x,y,z)平面PBC的法向量，则有n?BC?0且n?PC?0； 即 ??0x?2y?0?0?y?0 解得?
2x?2y?2z?0x?z??令x?z?1，则n为n(1,0,1)，设?为PD与平面PBC所成的角，则
cos（90o-?）=PD?nPD?n?0?0?2?0?(?2)?122?22?2?1，因为?为为锐角， 2所以90o-?=60o，?=30 o
。
即 PD与平面PBC所成的角为30 o 19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。 （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）?表示开始第4次发球时乙的得分，求?的期望。 解：（Ⅰ）甲乙从开始第四次发球时，甲乙比分分布如下表：
甲得分概率 px?0 0.16 px?1 0.48 0.0768 0.2304 0.1728 px?2 0.36 0.0576 0.1728 0.1296 乙得分概率 py?0 py?1 py?2
0.16 0.48 0.36 0.0256 0.0768 0.0576 故甲乙比分1比2的概率为px?1*
py?2=0.1728
（Ⅱ）乙从开始第四次发球得分期望E（?）=py?0?0+py?1?1+py?2?2=1.2分。
20 （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．
设函数f(x)?ax?cosx，x??0,??. （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设f(x)?1?sinx，求a的取值范围。
解：（Ⅰ）由f?(x)?(ax?cosx)??a?sinx
当a?1时，f?(x)?a?sinx?1?sinx?0恒成立， 所以a?1时f(x)在x??0,??上位单调增函数。 当a?0时，f?(x)?a?sinx??sinx?0恒成立， 所以a?0时f(x)在x??0,??上位单调减函数。 当0?a?1时，令f?(x)?0，得x?arcsina，
即 f(x)在x??0,arcsina?上位单调增函数；f(x)在x??arcsina,??上位单调减函数；
（Ⅱ）由f(x)?1?sinx，得ax?cosx?1?sinx 解得 ax?2sin(x?)?1
42sin(x?)?1
4?设h(x)?ax，g(x)??h(x)，g(x)图像如右图，要使h(x)?g(x)，必须
满足 h(x)的斜率a?2?02? ??0?21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） ．．．．．．．．
已知抛物线C：y?(x?1)与圆M：(x?1)?(y?)?r (r?0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。 解：（Ⅰ）设公共交点坐标为A（xA，(xA?1)），圆M的圆心为O（1, kl?y?x?xA?(x?1)22212221），由圆的性质可知： 2?2??x?xA?2xA?2，kOA?xA?1xA?1 ?112yA?(xA?1)?22由klkOA??1， 解得xA=0，yA=1 故 r?
（Ⅱ）解略 d?25?32
15(0?1)2?(1?)2?
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全国高考理科数学(必修+选修II)试卷及答案
