1?a???解得，?2，
??c?2∴抛物线的表达式为y??12x?3x?2； 2（2）①设直线AC的表达式为y?kx?b， ∵直线AC经过点C(6,2)，A(0,4)，
?6k?b?2∴?，
b?4?1?k??1?解得，?3，即y??x?4，
3??b?4∴点G的纵坐标用含m的代数式表示为：?m?4，
1313②过点G作GM?x轴于点M，
故答案为：?m?4．
1?OM?m，GM??m?4，
3AB?BC，BG?AC， ?AG?CG，
?AOB??GMH??CDH?90?，
?OAGM?CD，
OMAG??1， MDGC1?OM?MD?OD?3，
213?点G为(3,3)，
?m?3，?m?4?3，
设直线BG的表达式为y?kx?b，将G(3,3)和B(2,0)代入表达式得，??2k?b?0，
3k?b?3??k?3??，即表达式为y?3x?6， b??6?点F为直线BG和抛物线的交点，
?得?12x?3x?2?3x?6， 2
?x1?4，x2??4（舍去）， ?点F的坐标为(4,6)，
过点F作FP?y轴，垂足为点P，PF的延长线与DC的延长线交于点Q，
?PF?4，AP?2，FQ?2，CQ?4，
在Rt△AFP中和Rt△FCQ中，根据勾股定理，得AF?FC?25， 同理可得AB?BC?25，
?AB?BC?CF?FA， ?四边形ABCF为菱形， ?ABC?90?， ?菱形ABCF为正方形；
③∵直线AC：y??1x?4与x轴交于点H， 31x?4?0， 3解得，x＝12， ∴H(12,0)，
∴?∴FC?(6?4)?(2?6)?20，CH?(12?6)?(0?2)?40， 设点N坐标为(s,t)，
∴FN?(s?4)?(t?6)，NH?(s?12)?(t?0)， 第一种情况：若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH＝CH，
222222222222?(s?4)2?(t?6)2?20∴?， 22(s?12)?t?40?42?s???15?s2?6解得，?，?（即点C），
26t?2?2?t?1?5?∴N??4226?,?； ?55?第二种情况：若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC，
?(s?4)2?(t?6)2?40∴?， 22(s?12)?t?20?
38?s???s2?10?15解得，?，?，
4t?4?2?t?1?5??384?N,?或N(10,4)， ∴??55?综上所述，以F，H，N为顶点的三角形与△FHC全等时，点N坐标为(10,4)或?或??4226?,?55???384?,?． ?55?【点睛】
本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．
5．综合与实践 问题情境
在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1， MN是过点A的直线，点C为直线MN外一点，连接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一点B，使∠DBN=60°．
观察发现
（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是 ；
（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程； 实践探究
（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2
和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：
在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是 ； 在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是 ；
提出问题
（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.
【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23 【解析】 【分析】
（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB
（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；
（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系； （4）过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度. 【详解】 综合与实践 （1）AB+DB=CB （2）线段CE如图所示.
证明：∵∠ECB=∠ACD=60o， ∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB， ∴∠2=∠1.
∵∠ACD=∠DBN=60o, ∠ABD+∠DBN=180o， ∴∠ABD+∠ACD=180o，
∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180o. ∵∠CAB+∠4=180o， ∴∠4=∠3. 又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB（ASA） ∴EA=BD，EC=BC. 又∵∠ECB=60°， ∴△ECB为等边三角形, ∴EB=CB.
而EB=EA+AB=DB+AB, ∴CB=DB+AB.
（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；
（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60o，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F. ∵∠DCA=60o
∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA 即∠ECA=∠BCD ∵∠DBN=120o ∴∠DBA=60o 又∵∠AFB=∠DFC ∴∠EAF=∠BDC 又∵AC=DC
∴△ACE≌△DCB（ASA） ∴BC=EC
∴△ECB为等边三角形 ∴∠CEB=60o
上海所在城市数学旋转几何综合单元测试与练习(word解析版)
