⑴.求抛物线C的函数表达式；
⑵.若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻两边作平行四边形
MANB,当平行四边形MANB的面积最大时，求此时四边形MANB的面积S及点M的坐标；
⑶.在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y?174的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.
考点：二次函数的图象及其性质、待定系数法、数学的建模思想、勾股定理、距离公式等. 分析：
本题的⑴利用“待定系数法”即可求出二次函数的解析式；本题的⑵抓住建立平行四边形的面积是△ABM的2倍，所以以△ABM的面积建立一个二次函数来求出其最大面积，再进一步求出平行四边形的最大面积；本题的⑶问主要先假设存在，再在此基础上从特殊点切入利用距离公y式进行探究其存在的可能性. M?174 By略解：
A⑴. ∵A??1,0?和点B?2,3?两点在抛物线y?ax2?2x?c上 Ox∴??a?2?c?04?c?0
?4a?解得??a??1c?3
?∴抛物线C的表达式为：y??x2?2x?3 ······· 4分
⑵. 设直线AB的解析式为y?kx?b
∵A??1,0?和点B?2,3?在直线AB上
∴???k?b?0?b?3 解得??k?1?1 ∴直线AB的解析式为y?x?1 ······· 5分
?2k?b如图所示，过M作MN?x轴交AB于N
设M?a,?a2?2a?3? ，则N?a,a?1? （?1?a?2 ） ∴MN?yM?yN???a2?2a?3???a?1???a2?a?2， ∴S△ABM=S△AMN+BMN=
12?xB?xA??MN ∴S△ABM=13?1?272?3???a2?a?2?2??2??a?2???8
∴当a?12 ，△ABM的面积有最大值278 ····················· 8分 ∴S27□MANB=2S△ABM=
4 ，此时M??1?2,7?2??. ··················· 9分
⑶.存在.F???1,15?4?? . ································· 10分 理由如下：令抛物线顶点为D ，则D?1,4? ；则顶点D到直线y?174的距离为14； 设F?1,m?，再设P?x,?x2?2x?3?
设P到直线y?17的距离为PG,则PG?174???x2?2x?3??x254?2x?4 ∵P为抛物线上任意一点都有PG?PF
∴当P与顶点D重合时，也有PG?PF;则PG?1171 ,即顶点D到直线y?的距离为 . 444
以上考点分析解答，仅供参考！ 2024.6.17
∴PF?DF?1115 ，此时m?4?? 444∴F?1,?15?? ·········································· 12分 ?4?∵PG?PF ∴PG2?PF2
2223?5?2??15??∵PF??x?1????x2?2x?3???x?1???x2?2x??，PG2??x2?2x??
4?4??4???22
3??5??∴?x?1???x2?2x????x2?2x??
4??4??222整理化简可得0x?0∴当F?1, 点评：
?15??时，无论x取任何实数，均有PG?PF. ··· 14分 4??本题的⑴问利用待定系数法即可获得解决；本 题⑵问是数学建模思想的运用，本问比较巧妙的是 要通过三角形的面积的最大值来求平行四边形的最 大值；三角形采用了割补法中的“割”办法切入来 表示面积，再通过二次函数求“最值”.本题的⑶ 问对于绝大多数学生来说具有一定的挑战性，实际 上这里渗透特殊到一般的数学原理，即点P与抛物
?x,?x2?2x?3?7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林 x?1 8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国 9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果 10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯 线顶点重合到在抛物线上任一点处来探究.同学们平 时要有一定数学功底才能在有限的时间内破题.
11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度
2024年四川省自贡市中考数学试题（解析版）
