v1.0 可编辑可修改 二阶系统分析
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一、 二阶系统的传递函数
由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为：
（4-5）
其传递函数为：
6）
（4-
式中 —系统的输入；
—系统的输出；
—常系数。
为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即：
（4-7）
若系数a1和a2的符号相同，（4-7）式可改写成如下形式：
1
v1.0 可编辑可修改 （4-8）
式中 —二阶系统的无阻尼自然振荡频率
—二阶系统的阻尼比
—放大系数
式（4-8）称为二阶系统传递函数的通用形式。
式（4-8）的特征方程式为
（4-9）
方程的特征根为：
（4-10）
由式（4-10）可知，随着阻尼比的改变，特征方程根的性质会发生变化，二阶系统的单位阶跃响应曲线形状也会随之变化。阻尼比 >1）。当
的变化可分成五种情况（即
<0；
=0；0<
<1； =1；
<0时，特征方程的两个根（或根的实部）大于零，二阶系统是不稳定的，对这种情况不
的取值情况进行讨论。
作讨论。下面就其它四种
二、 二阶系统的单位阶跃响应
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v1.0 可编辑可修改 1、 无阻尼情况（ =0）
=0时，式（4-10）为：
即特征方程的两个根位于虚轴上，见表4-1。
其传递函数为
当输入信号为单位阶跃信号时：
取C(s)的拉氏反变换，得无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：
（4-11）
这是振幅为K的等幅振荡，其单位阶跃响应曲线如图4-1中曲线①所示。图中横坐标用 纵坐标用c(t)/c(
)刻度，曲线只是
的函数。
刻度,
等幅振荡（阻尼比 =0）的振荡频率为 ，因而 被称为无阻尼自然振荡频率。
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２、 欠阻尼情况（0< <1）
0< <1时，二阶系统特征方程式的两个根为共轭复根，即
式中 —特征根实部之模值，称为衰减系数，具有角频率量纲，
—阻尼振荡频率， 。
见表4-1所示。
系统的传递函数为
当输入信号为单位阶跃信号时，
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取C(s)的拉普拉斯反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为：
（4-12）
由式（4-12）可看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成，稳态响应值（即c(
)）等于K，也就是说，稳态（即 ）时，输入信号与输出信号c(
)之间不存在稳态误差。
瞬态分量是一个随时间 增长而衰减的振荡过程，振荡频率为，称为阻尼振荡频率。欠阻尼二阶系统
的单位阶跃响应曲线为一条衰减的正弦曲线，见图4-2所示。整个响应特性曲线包含在一对包络线之内，包络线的方程为
（4-13）
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完美系统时域分析
