高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性
说明：本试卷分第I卷和第II卷两部分，第
I卷60分，第II卷90分，共150分；答题时间
150分钟．
第Ⅰ卷（共
60分）
一、选择题：本大题共
12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．函数y
1
x5(x5)的反函数是（）
A．y1
x5(x0)B．yx5(xR)C．y
1
x
5(x0)
D．y
x
5(x
R)
2．已知函数y
f(x)有反函数，且yf(x1)的图象经过点(0,2)，则下列函数中可能
是yf(x)的反函数的一个函数是
（
）
A．y4x2
(0x2)B．
y14x2
(0x2)C．
y
2
4
x
2
(0
x
2)
D．
y
1
4
x
2
(2
x
2)
3．设函数f(x)(x
R)为奇函数，f(1)
12
,f(x
2)
f(x)
f(2),则f(5)
（
）A．B．1
C．
52
D．5
4．函数
f(x)
x
2
2ax3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是
（）
A．a(
,1]B．a
[2,)C．a[1,2]D．a(,1][2,
)
5．若f(x)=-x2
+2ax与g(x)
a
x1
在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是（
）
A．(1,0)(0,1)B．(1,0)(0,1]
C．（0，1）
D．(0,1]
6．函数y
lnx1x1,x(1,)的反函数为
（）
A．y
ex1exex
1,x(0,)B．y
1e
x
1,x(0,)
ex1xC．y1e
x
1
,x(,0)D．y
ee
x
1
,x(,0)
0
7．已知函数
A．
fx
ax1x3
的反函数就是
fx本身，则a的值为
C．3
D．
（）
3
B．1
1
),f(-3)的大小关系
（
）
8．设偶函数f(x)的定义域为R，当x
是A. f(C. f(9．函数
)>f(-3)>f(-2) ) [0,]时f(x)是增函数，则f(-2),f( B. f(D. f( )>f(-2)>f(-3) ) （ ） fx存在反函数，则方程 fxcc为常数 B．至少有一个实数根D．没有实数根 A．有且只有一个实数根C．至多有一个实数根 10．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是 （ A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b) C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b) 11．点(2，1)既在函数f(x)= b)有A．1组12．设 B．2组 C．3组 D．4组 （ ） ） B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) 1a x ba 的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组 （ ） (a， f 1 (x)是函数f(x)= 1 x的反函数，则下列不等式中恒成立的是 f(x)2x11 D．f(x)2x1 B． 1 fC．f A．(x)2x11 (x)2x1 第Ⅱ卷（共 二、填空题：本题共13．已知函数 g(-8)=__ 2x 90分） 4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上． y f(x)是奇函数，当x . 0时, f(x) 3x1，设f(x)的反函数是 y=g(x)，则 14．函数f(x) = ax＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ 15．已知f(x) = 4－2 2 x＋1 ． ，求f －1 (0)的值___________________. 在区间[1,2]上都是减函数，则 a的值范围是________. ． 16．若f(x)=-x+2ax与g(x) ax1 三、解答题:本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17．用定义证明：函数 f(x)x 1x 在 x1, 上是增函数. 3 (12分) 18．设f(x)是R上的奇函数，且当x [0,+∞)时，f(x)=x(1+ x),求f(x)在(- ,0)上的表 达式和在R上的表达式．(12分) 19. 讨论函数f(x)= axx 2 1 (a0),在-1 20．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数且f(x)+g(x)= 1x1 ，求f(x),g(x). (12分) 21．定义在（-1，1）上的奇函数f(x)是减函数且f(1-a)+f(1-a2 )<0,求实数a的取值围22．已知函数f(x)= x 2 2xa x ，x∈［1，＋∞) (14分) （1）当a=12 时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意x∈1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数 a的取值范围． 分) . (12反函数与函数的单调性答案 一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 二、填空题 13. 3 14. , 115. 1. 16. (0,1]. 三、解答题2 17．任给 x1,x21,且 x1x2, 则 f(x1) x11 xf(x2) x12 1 x2 9．C ．B 12.C 1011.A f(x1)f(x2)=x1 x1x2 2 1x1 x2 1x2 2 x2x1x2x1x2 x1 = (x1x2)(x1x21)x1x2 . x1,x2x1x2 (x1 1, 且 x1x2，x11,x21,x1x20,x1x20. 1,即有x1x210, x2)(x1x2x1x2 1) 0, 1x f(x1)f(x2)，即f(x)x 在 x1, 上是增函数. 18．设x(-,0),则-x 3 (0,+ (- ),∴f(-x)=-x(1- 3 x)。 f(x)是R上的奇函数，f(x)=x(1+ 3 ∴f(x)=x(1- x)(x ,0)),f(x)在R上的表达式是 x)． 19．设-1 a(x1(x1 2 x2)(x1x21)(x 22 1)1) , ∴当a>0时，f(x)在（-1，1）上为减函数；当20． f(x)+g(x)= a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数．即f(x)-g(x)=- 1x1 , ∴f(-x)+g(-x)= 1x1 1xx 1 ,将 f(x)f(x) g(x)g(x) 1 1x1 联立解得f(x)=,g(x)21x1x1 1 1aaa 22 x 2 1 . 111 1，则a(0,1). 21．f(x)在(-1,1)上为奇函数且为减函数， 11 a 22．(1)当a= 12 时，f(x)=x＋ 12xx1 ＋2，x∈[1，＋∞). 设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋ 12x2 x1 12x1 =(x2－x1)＋ x2 2x1x2 =(x2－x1)(1－ 12x1x2 ). ∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－ 12x1x2 ＞0， 则f(x2)＞f(x1) 可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为(2)在区间［1，＋∞)上，f(x)= f(1)= 72 ． x 2 2xx a ＞0恒成立x＋2x＋a＞0恒成立 2 2 设y=x＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当 ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3． 2
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