梦想不会辜负每一个努力的人 课时跟踪训练17：二次函数的图象与性质(二)
A组 基础达标
一、选择题
1．(2013·雅安)如图17－1所示，将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为 A．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋6
B．y＝(x－2)2＋6 D．y＝x2
( D )
2．(2013·泰安)在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是图17－1中的
( C )
图17－1
3．(2013·株洲)二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图17－2所示，则m的值是
( B )
图17－2
A．－8
B．8 C±8 D．6
1
梦想不会辜负每一个努力的人
4．(2013·十堰)如图17－3所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(－1，0)．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a＋b＋c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞－1时，y＞0，其中正确结论的个数是( B )
图17－3
A．5个 二、填空题
5．(2013·荆门)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝__9__．
b
解析：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，∴当x＝－2时，y＝0.且b2－4c＝0，即b2＝4c.又∵点A(m，n)，B(m＋6，n)，∴点A、B关于直线x＝b?b??b?
－－3，n?，B?－2 ＋3，n?将A点坐标代入抛物线解析式，得－2对称，∴A?2????12?b?2?b??1?2
n＝?－2－3?＋b?－2－3?＋c＝－4b＋c＋9，∵b＝4c，∴n＝?－4 ?×4c＋c
??????＋9＝9.
6．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－2，10)，且一元二次方程ax2＋bx1555＋c＝0的根为－2和2，则该二次函数的解析关系式为__y＝3x2－2x－3__． 解析：将点(－2，10)代入二次函数解析式得：4a－2b＋c＝10，再将一元二次方11
程的两个根代入一元二次方程得：4a－2b＋c＝0；4a＋2b＋c＝0三个方程联55555
立组成方程组，解得a＝3，b＝－2 c＝－3得二次函数解析式y＝ 3 x2－2x－53 .
7．若二次函数y＝ax2＋2x－1的值总是负值，则a的取值范围是__a<－1__．
B．4个
C．3个
D．2个
2
梦想不会辜负每一个努力的人 8．(2013·烟台)如图17－4所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3，0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)，(－2，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2.其中说法正确的是__①②④__．
图17－4
三、解答题
9．(2013·宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 可设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)， 把C(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1， 故抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)， 即y＝－x2＋4x－3，
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴顶点坐标(2，1)．
(2)如图17－5所示，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．
图17－5
解：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y＝－x上．
3
梦想不会辜负每一个努力的人 10．(2013·广东)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式； 解：二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；
(2)如图17－6所示，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；
图17－6
答案：C(0，3)，D(2，－1)
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
解：当P、C、D共线时，PC＋PD最短，过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，POCOPO33∴DE＝CE，∴2＝4，解得：PO＝2， ?3?
∴PC＋PD最短时，P点的坐标为P?2，0?.
??
B组 能力提升
11．(2013·江西)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1
( D )
B．b2－4ac≥0 D．a(x0－x1)(x0－x2)<0
C．x1 12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图17－7所示，给出下列结论：①2a＋b＞b 0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－a；④3|a|＋|c|＜2|b|.其中正确的结论是__①③④__． 4 梦想不会辜负每一个努力的人 图17－7 13．(2013·兰州)如图17－8所示，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的12 直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)，若抛物线y＝x21＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是__－2＜k＜2__． 图17－8 14．如图17－9是抛物线与直线y＝x＋3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x＝－2. 图17－9 (1)求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标； 答案： A(－3，0)、B(－1，0) (2)试确定抛物线的解析式； 答案：y＝x2＋4x＋3. (3)观察图象，请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围． 解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(其中a不等0)，因此抛物线的对称轴 5 梦想不会辜负每一个努力的人 b 方程为x＝－2a(1式)，因为点A、C是直线y＝x＋3分别与x轴和y轴的交点，所以当x＝0时、y＝3；当y＝0时、x＝－3，即A、C坐标分别为：A(－3，0)、C(0，－3)又因为点A、C是抛物线上的点，将A、C两点坐标分别代入抛物线方程得到：9a－3b＋c＝0(2式)，c＝3(3式)，联立1，2，3式解出a＝1，b＝－4，c＝3，将值代入方程得到抛物线方程为y＝x2－4x＋3，知道了抛物线的方程后，令y＝0，解方程x2－4x＋3＝0得到两个解即为A、B两点的坐标．第三个问题的意思是：只要抛物线的图形在直线的下方部分即是x的取值，从图中直接可以看出就是A、C两点的横坐标之间的区间，由于前面已经知道了该两点的坐标值，因此直接写出答案：－3＜x＜0. 15．如图17－10所示，抛物线y＝ax2－5x＋4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，4)． 图17－10 (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标； 9??5 答案：a＝1，P?2，－4?. ?? (2)该抛物线与y轴的交点为D，则S四边形ABCD为__16__； (3)将此抛物线沿x轴向左平移3个单位，再向上平移2个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式． 答案：y＝x2＋x. 6
（中考复习）第17讲 二次函数的图象与性质（二） - 1
