§4 用样本估计总体的数字特征
4.1 样本的数字特征
学 习 目 标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差．(重点) 2．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，并作出合理解释和决策．(难点) 核 心 素 养 1．通过对数据特征数的计算，培养数学运算素养． 2．通过利用数据的特征数估计总体分布，培养数据分析素养．
1．众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．
1
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么x＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平
n均数．
2．方差
（x1－x）＋（x2－x）＋…＋（xn－x）2
(1)公式：s＝．
2
2
2
n(2)意义：方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度． 3．标准差
s＝s2＝（x1－x）＋（x2－x）＋…＋（xn－x）222n．
思考：1.众数、中位数和平均数各有什么优点和缺点？ 提示：三种数字特征的优缺点比较： 名称 优点 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 缺点 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征 众数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠中位数 前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 2．标准差、方差的意义是什么？
提示：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A．a＞b＞c C．c＞a＞b
B．b＞c＞a D．c＞b＞a
1
D [将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a＝
10(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，显然a＜b＜c.]
2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有( )
甲 乙 丙
A．s3＞s1＞s2 C．s1＞s2＞s3
B．s2＞s1＞s3 D．s3＞s2＞s1
D [所给图是成绩分布图，平均分是75分，在题图甲中，集中在75分附近的数据最多，题图丙中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，题图乙介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.]
3．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
4＋6＋5＋8＋7＋66 [＝6.]
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众数、中位数、平均数的简单运用
【例1】 下面是某快餐店所有职位一周的收入表： 老板 6 000元 大厨 900元 二厨 700元 采购员 800元 杂工 640元 服务生 640元 会计 820元 (1)计算所有职位的周平均收入； (2)这个平均收入能反映所有职位的周收入的一般水平吗？为什么？
(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表该店职位的周收入的水平吗？ 1
[解] (1)周平均收入x1＝(6 000＋900＋700＋800＋640＋640＋820)＝1 500(元).
7(2)这个平均收入不能反映所有职位的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．
1
(3)去掉老板的收入后的周平均收入x2＝(900＋700＋800＋640＋640＋820)＝
6750(元).
这能代表该店职位的周收入水平．
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．
[跟进训练]
1．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数 2 3 2 3 4 1 1 1 分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数．
2020_2021学年新教材高中数学第6章统计4用样本估计总体数字特征4.1样本的数字特征学案含解析北师大版必修一
