第十三届全国中学生物理竞赛复赛试题
1. 如图所示，有一由匀质细导线弯成的半径为 α 的圆线和一内接等边三角形的电阻丝组成的电路 （电路中各段的电阻值见图） 。在圆线圈平面内有垂 直纸面向里的均匀磁场， 磁感应强度 B 随时间 t 均匀减小，其变化率的大小为一已知常量 k。已知 2r 1＝3r 2。求：图中 AB两点的电势差 UA-UB。
2. 长度为 4 毫米的物体 AB由图所示的光学系统成像，光学系统又一个直角棱镜、一个汇聚透镜和一个发散透镜组成， 各有关参数和几何尺寸均标示于图上，求：像的位置；像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。
3. 如图所示，四个质量均为 m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳连接成 菱形 ABCD，静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点 A 一个历时极短 CA 方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点 A 的速度为 V，其他质点也获得一定 的速度，∠ BAD＝ 2α（α <π /4）。求此质点系统受冲击后所具有的总动量
和总能量。
4. 在一个半径为 R 的导体球外，有一个半径为 r 的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为 a（a>R），且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带电，总电量为 q，试问：
1. 当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？ 2. 当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？ 3. 当导体球的电势为 VO 时，球球上总电荷又是多少？
4. 情况 3 与情况 1 相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 5. 情况 2 与情况 1 相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？ 〔注〕已知：装置不变时，不同的静电平衡 带电状态可以叠加， 叠加后仍为静电平衡状 态。
5、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球 （布的质量可忽略不计），直径为 d＝ 2.0 米，球内充有压强 P0 1.005 ×105 帕的气体，该布料所能承受的最大不被撕破力为 f m＝ 8.5 ×103 牛/ 米（即对于一块展平的一米宽的布料，
3
沿布面而垂直于布料宽度方向所施加的力超过 8.5 ×10 牛时，布料将被撕破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为 Pao＝ 1.000 ×103 帕，温度 T0＝ 293 开，假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化， 压强的变化为 αp＝ -9.0 帕 / 米，温度的变化为 αT＝-3.0 ×10-3 开 / 米，问该气球上升到多高时将撕破？假设气球上升很缓慢， 可以为球内温度随时与周围空气的温度保持一致，在考虑气球破裂时， 可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。
6. 有七个外形完全一样的电阻， 已知其中 6 个的阻值相同， 另一个的阻值不 同，请按照下面提供的器材和操作限制， 将那个限值不同的电阻找出， 并指出它的阻值是偏大还是偏小， 同时要求画出所用电路图， 并对每步判断的根据予以论证。
提供的器材有： 1 电池；2 一个仅能用来判断电流方向的电流表 （量程足够），它的零刻度在刻度盘的中央， 而且已知当指针向右偏时电流是由哪个接线柱 流入电流表的； 3 导线若干
操作限值：全部过程中电流表的使用不得超过三次。
第十三届全国物理竞赛复赛试题解答
一、在各段电路上，感应电流的大小和方向如图复解
电路的对称性，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，对半径为
π a2 k = 2 r1 I 1 + r1 I 1
对等边三角形三个边组成的电路，可得
2
13 - 1 所示电流的分布，已考虑到
α 的圆电路，可得
A
r1
3 3 a k / 4 = 2 r 2 I 2 + 2 r2 I 2
I 1
I2 r2
r 2
r 1
I 1
对由弦 AB 和弧 AB 构成的回路，可得
2
2
O I 2
（ π a -3 3 a / 4） k / 3 = r1 I 1 - r2 I 2
考虑到，流进 B 点的电流之和等于流出 有
C
r1
I 2 ′ 2r 2 I 1 ′
B
B 点电流之和，
图复解 13 - 1
I 1 + I 2 = I 1 + I 2
由含源电路欧姆定律可得
U A -
U B = π a 2 k /3 - I1 r1 r2 = 2 r1
由以上各式及题给出的
/ 3 可解得 3 a 2 k / 32
U A - U B = -
二、解法一 ： 1、分析和等效处理
根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为 注意到物长为 4mm ，由
光路可估算， 进入棱镜的近轴 光线在斜面上的入射角大多
c = arcsin ( 1 / n )
42
A 6cm
B
在 45 左右，大于临界角，发 生全反射。 所以对这些光线而
A B
6cm
L 1 L 2
言，棱镜斜面可看成是反射
10cm
5cm
镜。本题光路可按反射镜成像 的考虑方法，把光路“拉直” 如图复解 13 –2 - 1 所示。现
6cm
在，问题转化为正立物体经过
图复解 13 - 2 - 1
一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。
2、求像的位置；厚平玻璃板将使物的近轴光
线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光 学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。 利用沿光轴的光线和与光轴成 就可求出这个移动的距离。
α
α d
β α
B α d
α 角的光线来讨论
l B′
图复解 13 - 2 - 2
D
设轴上的物点为 B 。由于厚平玻璃板的作用（即侧移的物点）为
- 2 所示）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知 而
所以
当α 为小角度时 故得 物距
B′（如图复解 13 –2
l = d （ ctgα ）
d = D （ tgα - tgβ ）
l = D （1 –tgα / tgβ ）
tgβ / tgα ≈ sinβ / sinα= 1/n
l = D （ 1 –1 / n） = 2 cm
这也就是物 AB 与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜
L 1 来说就是物，而
u1 =〔 （ 6 –2 ） + 6 + 10 〕 cm = 20 cm
L1 的左方焦平面上，像距即为v 1 = ∞ 。
u2 = ∞ 。
L 2 左侧的焦平面上（虚像）
L 2 的左侧 10 cm 处。
可见，物正好在
再考虑透镜 L 2 ，这是平行光线入射情形， 所以必须成像于这个发散透镜
v 2 = f 2 = - 10 cm
整个光路的最后成像位置就是在 了图示清楚图中把物高加大了）
3、求像的大小和虚、实、正、倒情况：可用作图法求解，如图复解
。 连接 A O1 并延长， 便得到发自
A B′
′
13 –2 - 3 所示（为
A 的光线经 L 1 后的平行
光线的方向。过 L 2 的光心 O2 作 A O1 的平行线，
1 折 它与 1 交于 C 点，则 A C 即为从 A 发出经过
A
f 2
L
L
″
射后又通过 L 2 光心的光线。反向延长 点。 令 L 2 左侧焦面与光轴的交点为
CO 2 与 L 2
L 1
C
L
2
左侧焦平面的交点 A 就是 A 由 L 1 与 L 2 所成的像
B 。 A B 就
B″
γ
O 1
O 2
f 1
是 A B 的像，这是一个正立的虚像。由图可得
A B
= f 2 tgγ
图复解 13 - 2 - 3
A B
= f 1 tgγ
而 A B 与 AB 等高，所以像的大小为
A B = （ f 2
/ f1 ） A B = 2 mm
解法二 ：关于物体 AB 经棱镜（折射，反射，
折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处 理。如图复解 13 –2 - 4 面近乎垂直的小光束经
所示， AB 发出的、与 PQ PQ 面折射后成像于 A 1 B1
A 1
B 2
这是视深问题。 A 1 、 B 1 与 PQ 面的距离均为 A 、 B 与 PQ 面的距离的 n 倍，即 C1 B1 = n C1 B 同）
A
B
1
A 1 B1 = AB（像与物的大小相
A 2 A′
P C Q
C3
A 1B 1 经 PR 面的反射成像于 A 2 B 2 ，大小不变，
B 2 B′
C 2
且
C2 B2 C2 B1
R
C 2 C1 C1B1 C1 P n C1B A B ，大小不变， 且
图复解 13 - 2 - 4
A 2 B 2 经 QR 面后折射成像于
C3B = (C3 B 2 / n (C 3C 2 C 2 B 2 ) / n (C1 Q C1 P nC1 B1 ) / n (PQ C1 B) / n
=（ 6 / 1. 5 + 6 ） cm = 10 cm
由此即可求出这个像
A B 作为透镜 L 1 的物的物距，其它部分的求解同解法（一）
。
三、由对称性可知， C 点的速度也必沿 CA 为方向，设其大小为 v C 。 D 的速度可以分解 平行于 v 和垂直于 v 的分速度，其大小分别设为为平
v D 1和 v D 2 。同样， B 的速度也类似地分解
行和垂直于 v 的二个分速度 ，其大小
设为 v B1和 v B2 ，如图复解 13 - 3 所示， 根据 对称性，必有
v
vD1
D
B1
v
A
D 1
v B2
v D 2
1
2
A 沿 DA 的分速度 一定相等， C 沿 CD
v
α
vD2 v B2
vC
C
v B1
由于绳子不可伸长，
和 D 沿 DA 的分速度
v cosv D1 cos v C cos
B
图复解 13 - 3
的分速度和 D 沿 CD 的分速度也相等，即
v D 2 sin v D 2 sin
v D 1 cos
3 4
另一方面， 设绳子 AD 给质点 D 的冲量的大小为
注意到绳子 DC 给质点 D 的冲量的大小同样也是 性还可以判定，绳子
大小都是 I 2 ，根据动量定理，可分别列出关于质点 行于 v 方向的关系式如下：
mv D1 I 1 cos mv D 2
I 1 sin
mv C 2I 2 cos
由（ 3） ~（ 7）式可解出本题所需的
I1 ，绳子 DC 给质点 C 冲量大小为 I 2 。 I 1 ，绳子 BC 给质点 B 和 C 的冲量的
I 2 （各冲量的方向均沿绳子方向） 。由对称
AB 给质点 B 的冲量的大小也是
D 平行和垂直于 v 的方向以及质点 C 平
I 2 cos I 2 sin
5 6 7
v D1 和 v D 2 、 v C )
v D1 v D 2 v C
v /(1 2 sin 2 v sin 2 v cos 2
/(1 2 sin 2 ) /(1 2 sin 2 )
C
据此结果和（ 1）、（ 2）式，此系统的总动量为
P mv
此系统的总动能为
E E A EB
2mv D1
mv C 4mv /(1 2 sin 2 ) ，
D1方向沿 CA 方向。
E C E D
1 m v2 2v 2 2
2v 2 D 2v 2
2mv 2 / 1 2 sin 2
四、 1、见图复解 13 –4 。导体是一个等势体，所以导体球接地（
V 球 = 0 ）时，对于
球心点有
V球心 = V 球 = 0
（ 1）
第13届全国中学生物理竞赛复赛试题及解答.docx
