最新南昌大学第六届高等数学竞赛(数学专业类06、07级)试卷试题及答案

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序号： 姓名： ____ 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2009年10月11日 题号 题分 得分 一 30 二 10 三 10 四 10 五 10 六 10 七 10 八 10 总分 100 累分人 签名 南昌大学第六届高等数学竞赛（数学专业类06/07级）试卷试题及答案

一、 填空题(每空 3 分，共 30分) 得 分评阅人 1、(x,y)?(0.0)limsin[ey(x?1)(x2?y2)]ex2?y2?1=1； 2、函数f(x)?(x2?x?2)|x3?x|不可导点的个数是2； 3、?arctanx112= dx?arctanx?lnx?ln(1?x)?C； x2x22n?3n(x?1)n的收敛区域为[2/3 ,4/3）4、?； nn?1?5、设f(x)是连续函数，且f(x)?x?2?f(t)dt，则f(x)＝x?1 01?2z6、z?f(xy,y?x) f具有二阶连续偏导，=f1?yxf11?(y?x)f12?f22； ?x?y7、设Dt?(x,y,z)?R3x2?y2?z2?t2,t?0?，F(t)????f(x2?y2?z2)dV,其中f可微，Dt?F?(t)= 4?t2f(t2)； 8、设曲线C为x2?y2?z2?6与z?x4?y2的交线，则在曲线C上点（1，1，2）的切线?x?y?2z?6?0方程为?； 4x?2y?z?4?0?9、设L为取正向的圆周x2?y2?9，则曲线积分?(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy＝?18? ； L10、函数列 ?fn(x)?在(a,b)区间一致收敛的柯西准则是???0，?N?N?，对?n?N， ?p?N? ，?x?(a,b)，有fn?p(x)?fn(x)?? 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

仅供学习与交流 二、求极限limn?? 得分 nn(n?1)(n?2)?(n?n) n评阅人 limn??ln(1?x)dx?ln(1?i/n)/n?(n?1)(n?2)?(n?n)nlim4i?1=e??=e0= nen1 x2?21三、证明函数f(x)?2sin在任何不含原点，也不以原点为端点的区间内一致连续， xx?1在（0,1）内不一致连续 x2?21sin 在I与其端(1) 若有限区间I内不含原点，且左右端点都不为零，由f(x)?2xx?1点构成的闭区间I0上连续，所以在I0一致连续，从而在I一致连续。 当I为无限区间，I?(a,??)，I?[a,??)或I?(??,?a),I?(??,?a](a?0)，由于limf(x)x???aa＝limf(x)＝0, f(x)在(??,?]及[,??)上一致连续，故在其任一子区间上一致连续。 x???22 11(2) 对?0=1，???0，?x1?，x2?：x1,x2?(0,1)，x1?x2??， 2n???22n? f(x1)?f(x2)?1?11?x12?1??0 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

仅供学习与交流 四、设f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，f(0)?f(1)?0，limf(x)?1 ?1，试证：112x?2(x?)21（1）存在??(,1)，使得f(?)?? 2（2）对任意实数?，必存在??(0,?)，使得f?(?)??[f(?)??]?1 （3）f(x)在[0,1]上的最大值大于1 11f(x)?1（1）由lim?1知f()?1 令g(x)?f(x)?x，则g()?0，g(1)?0 11222x?2(x?)21 据零点定理知存在??(,1)，使得g(?)?0，即f(?)??. 2（2）令F(x)?(f(x)?x)e??x，则F(x)在[0,?]连续，在(0,?)可导，F(0)?F(?)?0 据罗尔定理，存在??(0,?)，使得F?(?)?0，即f?(?)??[f(?)??]?1 f(x)?1f(x)?1（3）由lim?1?0,及极限的保号性，在x=1/2的某邻域，?0 1121x?(x?)22(x?)22 即f(x)?1，而f(x)在[0,1]上有最大值，故f(x)在[0,1]上的最大值大于1 五、设Dt?(x,y)?R2x2?y2?t2,t?0?，f(x)在x?0的某邻域内连续且f(0)?0, ?F(t)???f(x2?y2)dxdy，证明： Dt（1） 函数F(t)在t?0的某邻域内可导； ?11（2） ???0,级数??F?()收敛。 nn?1n 2?22t2t（1）因为F(t)???f(x?y)dxdy??d??rf(r)dr?2??rf(r2)dr，且函数rf(r2)在0的Dt000某邻域内连续，所以，F(t)在t?0的某邻域内可导。 12?1f(2) （2）因为F?(t)?2?tf(t2)，所以F?()?nnn1112?1f(2)n1??=2?|f(0)|?0 lim?F?()n1???lim?n??nn??nnnn?11 因此，当??0时，由极限的比较判别法??F?()绝对收敛，从而级数收敛。 nn?1n 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除