1981年全国高考数学试题

1981年高考数学试题

(理工农医类)

1.设A表示有理数的集合, B表示无理数的集合,即设A={有理数},B={无理数},试写出:

（1） AUB； （2）AIB. 2.在A,B,C,D四位候选人中,

（1）如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果； （2）如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.

3.下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是. （1） （2） （3） （4） 边形 A 四边形ABCD是平行四B 四边形ABCD是矩形 A是B的什么条件 a?3 a?3 sin??1 2??150 点(a,b)在圆x2?y2?r2 oa2?b2?r2 4.写出余弦定理(只写一个公式即可),并加以证明. 5.解不等式(x为未知数):

x?aa?abx?bb?ccx?c?0

xxxxsinx6.用数学归纳法证明等式: cos?cos2?cos3?L?cosn?对一切自

x2222n2sinn2然数n都成立.

7.设1980年底我国人口以10亿计算.

(1)如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少? (2)要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少?

下列对数值可供选用:

lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417

lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060

8.在120o的二面角P?a?Q的两个面P和Q内,分别有点A和点B.已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4,且线段AB?10. (1)求直线AB和棱a所成的角； (2)求直线AB和平面Q所成的角.

y2?1 9.给定双曲线x?22（1）过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.

（2）过点B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由.

十、附加题:计入总分.

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图). 设AC?a,BC?b,作数列u1?a?b,u2?a2?ab?b2,u3?a3?a2b?ab2?b3 ……, uk?ak?ak?1b?ak?2b2?L?(?1)kbk 求证: un?un?1?un?2, (n?3).