镜像法在电磁场中的应用

镜像法在电磁场中的应用 摘 要

若在某区域内有一点电荷,并且边界的形状比较有规则,求解这一点电荷所激发的电场分布。镜像法即为其中的一种方法，它将在边界所激发的电荷用一个或者多个的象电荷等效的替换,将复杂的边界问题转化为几个电荷共同作用产生场的迭加问题，即利用电势的迭加原理求解电场。并将此推广到磁场中时,即可以将场的复杂问题转化为几个电流共同作用产生场的问题。

关键词: 镜像法；边值条件；静电场；电势叠加；轴对称非静态场

Abstract

If there is one point of a region of charge，and relatively simple shape of the border, we can solve this point to charge the electric field distribution excited image method is a method in which inspired at the border with the charge as an equivalent replacement charge will be the complexity of border issues into the combined effect of several charges arising from the issue of field superposition.And this extended to the magnetic field when the field can be transformed into the complex issues of a common role in several current market.

Key words: mirror-image method ；boundary conditions；electrostatic field; potential

overlapping； Axisymmetric non-static field

目 录

摘要 ………………………………………………………………………………Ⅰ Abstract…………………………………………………………………………Ⅱ

绪论…………………………………………………………………………………1 第一章 利用镜像法的解题步骤…………………………………………………2

1.11.21.3

镜像法及其理论基础……………………………………………………2 镜像法的解题步骤………………………………………………………2 镜像法的适用条件………………………………………………………2

第二章 镜像法在静态场中的应用…………………………………………………3

2.12.2 2.3

镜像法在静态电场中的应用…………………………………………3 镜像法在静态磁场中的应用…………………………………………8 本章小结……………………………………………………………………11

第三章 镜像法在非静态场中的应用……………………………………………13

3.13.23.3

非静态电磁场…………………………………………………………13 利用镜像法解非静态电磁……………………………………………18 本章小结………………………………………………………………19

结束语……………………………………………………………………………20 致谢……………………………………………………………………………21 参考文献……………………………………………………………………22

绪 论

在1848年，W.汤姆孙提出用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场的一种方法，并将此称为电像法[1]。后来发展到计算某些静磁场的问题，称为磁像法。无论是电像法还是磁像法它们均为镜像法。镜像法是电动力学中一种重要的计算方法.许多复杂问题使用该方法求解都会很简便,如在各种电动力学教材教科书中都介绍了利用镜像法求解均匀介质界面,介质柱面,介质球面在静态外场中电场分布情况

[2-4]

。也从中我们得到了静像法的基本解题思路:

[5]

如果在原电荷产生的电场中存在着导体或者介质分界面，导体或者介质面则由于静电感应或极化作用将出现感应或极化电荷。若直接求解这区域的之内的场会较复杂，但若我们可以将导体或介质上的感应或极化电荷在求解区域的影响用求解区域外的假想的电荷代替，但并不改变原来问题的边界条件，则原来求解原电荷与感应或极化电荷在求解区域的问题变成了求解元电荷与感应电荷在求解区域的问题。这种方法就称为镜像法，假想电荷称为象电荷。

目前，镜像法已不限于静电学范围，它已应用于计算稳恒磁场，稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。这种方法物理意义明显，可使某些问题的求解大为简化在有点电荷和金属介质的情况下常能凑效。但是关于镜像法在求解静磁场中的应用却少人提及，全面透彻地叙述更为少见。的确，镜像法在静磁场中求解比用于求解静电场要难多。但是只要抓住方法实质，抓住静电场和静磁场的可比性，则可使镜像法用于求解静磁的问题大为简化。由此推及，讨论镜像法在非静态电磁场中的应用是很有意义。

迄今为止，在教学中还鲜有人将镜像法应用到解非静态问题场，而在下面笔者将根据镜像法在静态场的应用经验上，应用场的边值问题和叠加原理，讨论一下镜像法在非静态场中的应用。

第一章 利用镜像法的解题步骤

若点电荷Q附近有一导体，在点电荷的电场作用下，导体面上出现感应电荷，我们希望求出导体外面空间的电场，这电场包括点电荷激发的电场和导体表面感应电荷所激发的电场，我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影响能否用导体内部某个或几个假想电荷来代替？注意我们在作这种代换时并不能改变空间中的电荷分布（在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然只有一个点电荷Q），因而并不能影响泊松方程，问题是关键在于是否满足边界条件。如果用这种代换确实能够满足边界条件，则我们所设想是假想电荷就可以用来代替导体表面的感应电荷分布，从而问题的解可以简单的表示出来。

由镜像法求解静态场问题中，我们可以看出场的唯一性定理是解镜像法的基础，在从中应用唯一性定理，解决场的边值问题[6-7]，而在求解过程中我们也常用到理想模型和叠加原理。

1.1镜像法的适用条件

（1） 场的唯一性定理是镜像法的基本前提；

（2） 所求区域有少数几个或一个点电荷，它所产生的感应电荷一般可以

用假想电荷代替，且不改变原空间电荷分布；

（3） 导体或者介质的边界形状比较规则（球面，平面，圆柱面），具有一

定的对称性； （4） 边界条件给定； （5） 主要应用叠加定理。

1.2镜像法的解题步骤

第一 写出微分方程和给定边界条件；

第二 根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； 第三 根据电势叠加得出电势的解析形式；

第四 求解电场，电荷分布等。