考点19 直线与圆（2）
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1
1、(2017苏州暑假测试）圆心在抛物线y＝x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为
2________．
?1?22
【答案】(x±1)＋?y－?＝1
?2?
【解析】思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径．
11
因为圆心在抛物线y＝x2上，所以设圆心为(a，b)，则a2＝2b.又圆与抛物线的准线及y轴都相切，故b＋＝|a|
2211
y－?2＝1. ＝r，由此解得a＝±1，b＝，r＝1，所以所求圆的方程为(x±1)2＋??2?2
→→
2、(2019扬州期末）已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则CP·CQ＝________． 【答案】 0
?y＝－x＋4，?x＝2，??x＝3，??
??【解析】解法1(坐标法) 圆心C(2，1)，由?解得或即P(2，2)，Q(3，22
????（x－2）＋（y－1）＝1，?y＝2?y＝1，
→→
1)，CP·CQ＝(0，1)·(1，0)＝0.
|2＋1－4|2
解法2(定义法) 设弦PQ的中点为M，则圆心C(2，1)到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝CM＝＝，22因此MQ＝R2－d2＝＝0.
|2＋1－4|
解法3(极化恒等式法) 设弦PQ的中点为M，则圆心C(2，1)到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝CM＝
2＝
2，因此MQ＝R2－d2＝2
12→→→→→→→→→→1－＝，CP·CQ＝(CM＋MP)·(CM＋MQ)＝(CM－MQ)·(CM＋MQ)＝CM2－MQ2
22ππ12→→→→
1－＝.因为CM＝MQ，所以∠MCQ＝，从而∠PCQ＝，即有CP⊥CQ，所以CP·CQ2242
11
＝－＝0. 22
3、(2019南京、盐城一模）设A＝{(x，y)|3x＋4y≥7}，点P∈A，过点P引圆(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线π
PA，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为________．
3
【答案】1
π
【解析】解法1 设圆心为C.因为∠APB＝2∠APC，所以∠APC的最大值为，所以PC的最小值为2r，则
6
|3×（－1）＋4×0－7|
32＋42＝2＝2r，即r＝1.
解法2 如图，求出满足使∠APB最大值的点P轨迹，连接P点和圆心，由解法1可知点P到圆心的距离为2r.点P满足轨迹(x＋1)2＋y2＝4r2，因为存在唯一最大值．所以该圆和直线3x＋4y－7＝0 相切，此时满足圆心到直线的距离d＝2r，又因为d＝2，解得r＝1.
4、(2019常州期末）过原点的直线l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________．
【答案】y＝±3x
【解析】思路分析由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ，从而得圆中kAP·kAQ＝－1，结合条件kAN·kAP＝1得出kAQ＝－kAN，从而得出角相等，围绕几何性质，解出本题．或者抓住AN⊥PQ，设点P坐标即可．
解法1 作图，易得直线PQ斜率存在且不为0.
由PQ为圆的直径可得AP⊥AQ，从而kAP·kAQ＝－1，又kAN·kAP＝1，所以kAQ＝－kAN，故∠QAO＝∠NAO.又∠QAO＝∠OQA，设∠QAO＝α，则∠NOA＝2α，则α＋2α＝90°，得α＝30°.故直线PQ的倾斜角为60°.由对称性知，直线PQ的倾斜角也可为120°，所以kPQ＝±3.所以直线l的方程为y＝±3x.
y02
解法2 设P(x0，y0)，易知x0≠0，－1，y0≠0，则x20＋y0＝1，kPQ＝.由PQ为圆的直径得AN⊥PQ得kAN＝x0
x0x0y013y0－，kAN·kAP＝－·＝1，得x0＝－，y0＝±，kPQ＝＝±3.所以直线l的方程为y＝±3x. y0y0x0＋122x0
5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2
＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
【答案】x2＋y2＝81
【解析】思路分析 圆C平分圆C1等价于：两圆的公共弦是圆C1的直径．
设圆C的圆心为C(a,0)，半径为r，则r所以圆C的方程为x2＋y2＝81.
2
＝CC21＋1
且r
2
?
?＝CC2＋9，即2
??a－4?2＋?－8?2＋1＝r2，??a－6?＋6＋9＝r，?
2
2
2
??a＝0，
解得?2
?r＝81.?
6、(2018南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________．
4
【答案】－
3
【解析】思路分析 “圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上”等价于“圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆与直线kx＋y＋3＝0有公共点”．
圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3|2k－2＋3|44＝0的距离d＝≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－.
33k2＋1
7、(2019南通、泰州、扬州一调）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是________．
4
－4，? 【答案】 ?3??
【解析】当直线l斜率不存在时，l与两个圆不可能都相交，故不成立；当l斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－m)，即kx－y－km＝0，设圆O、圆C到直线l的距离分别为|－km|2
－＝3，整理得 1＋k22
|－km|231321＋k216－8m16－8m＝3＋2>3，解得m<，又直线与圆相交，所以d1<1，则，2，所以m<2<1，即m 2 d1，d2，则有：1－d2即1＝4－d2， |4k－km|222 d2－d1＝3，所以21＋k 44 －4，? . 即3m2＋8m－16<0，解得－4 8、(2019苏北三市期末） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0(m∈R)与以 222 C2(－2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足x21－x2＝y2－y1，则实数m的值为________． 【答案】－6 2222222 【解析】 思路分析 本题是圆的综合题，对于题目条件x21－x2＝y1－y1.可以变形为x1＋y1＝x2＋y2，从而可 从几何和代数两个角度求解． 解法1 由题可得C1(－m，2m＋3)，C2(－2，3)． 2222222由x21－x2＝y2－y1，得x1＋y1＝x2＋y2，即OA＝OB，故△OAB为等腰三角形，所以线段AB的中垂线经过原 点O.又相交两圆的连心线垂直平分公共弦，所以，两圆圆心的连线就是线段AB的中垂线，即直线C1C2过原点O，所以C1，C2，O三点共线，所以－3m＝－2(2m＋3)，解得m＝－6. 2解法2(代数法) 将A(x1，y1)，B(x2，y2)带入圆C1：x2＋y2＋2mx－(4m＋6)y－4＝0中得：x21＋y2＋2mx1－(4m2222222 ＋6)y1－4＝0，x2由x2得x2从而2mx1－(4m＋6)y1＝2mx22＋y2＋2mx－(4m＋6)y2－4＝0，1－x2＝y2－y1，1＋y1＝x2＋y2， －(4m＋6)y2，所以2m(x1－x2)＝(4m＋6)(y1－y2) ① 设圆C2为半径为r(r>0)，则圆C2：(x＋2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)，即x2＋y2＋4x－6y＋13－r2＝0，再将A(x1，y1)， 22222 B(x2，y2)代入圆C2方程中得，x21＋y1＋4x1－6y1＋13－r＝0，x2＋y2＋4x2－6y2＋13－r＝0， 222 由x21＋y1＝x2＋y2，从而4x1－6y1＝4x2－6y2，所以2(x1－x2)＝3(y1－y2) ② 2m4m＋6由①②得＝，从而m＝－6. 23 9、(2019南京学情调研） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P为圆(x－4)2＋y2＝4S1上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是________． S2 【答案】2－3 【解析】 思路分析 解决本题首先面临三角形面积公式的选择，其次面临如何把变量a，b，c转化为一个或11 两个变量．△OAP，△OBP的面积表示形式．解法1选择S△OAP＝OA×hPA，S△OBP＝OB×hPB来解题(点P到直线OA的 2211 距离为hPA，点P到直线OB的距离为hPB)；解法2选择S△OAP＝OA×OPsin∠AOP，S△OBP＝OB×OPsin∠BOP来解题． 22 |x－y|1 解法1(点参数) 设点P(x，y)，则OA＝2，OA：x－y＝0，点P到直线OA的距离d1＝，则S1＝×2 22 |x＋y||x＋y||x＋y||x－y||x－y|1 ＝.又OB＝2，OB：x＋y＝0，点P到直线OB的距离d2＝，则S2＝×2×＝，222222 x－yS1|x－y|?x－y?故＝＝?，令k＝，则(k－1)x＋(k＋1)y＝0，因为点P在圆上，所以圆心到点P的距离要小于等于?S2|x＋y|?x＋y?x＋y ×半径，故 S1≤2，解得2－3≤k≤2＋3，故的最小值为2－3. S2（k－1）2＋（k＋1）2|4（k－1）| ππ1 解法2(角参数)设∠AOP＝α，易知OA＝2，OB＝2，∠AOB＝，则∠BOP＝－α，S1＝×2×OPsin 222ππππ12S1α，S2＝×2×OPsin?－α?＝OPcosα，故＝tanα，由图易知，当直线OP与圆相切时，α＝4－＝，2S24612?2?2ππ5ππ5ππS1或α＝＋＝，故角α的取值范围是[，]，所以的最小值为tan ＝2－3. 46121212S212 【问题探究，变式训练】 题型一 隐圆问题 知识点拨：隐圆问题时近几年江苏高考个各类模拟的热点，解决此类问题的关键是让“圆”显现出来，主要体现以下几点：1、根据定义，确定圆·2、符合“阿波罗尼斯圆”的条件；3、根据轨迹确定为圆。然后转化为直线与圆或者圆与圆的位置关系来求解。 例1、(2019镇江期末） 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________． 【答案】－2≤a≤2. 【解析】思路分析 考察点P的轨迹C，轨迹C与圆M有公共点．利用圆与圆的位置关系求解． 由PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，得四边形PAOB是正方形，所以P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆． 又点P也在圆M上，所以OM≤2＋2，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2. 【变式1】（2018年苏州一模） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________． 【答案】 32 【解析】思路分析 P在直线AB：y＝x＋4上，设P(a，a＋4)，可以求出切点弦CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，易知CD过定点，所以M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值． 解法1(几何法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC方 ??ax1＋（a＋4）y1＝4，程为x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD方程，?则直线CD的方 ?ax2＋（a＋4）y2＝4，? 程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1，1)， ?1??1?又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON为直径的圆的方程为?x＋?＋?y－??2??2? 21＝， 2 2 所以AM的最大值为 ?－4＋1?＋?1?＋2＝32. ???2?2???2? 22 解法2(参数法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同解法1可知直线CD的方程为ax＋4－4y4x (a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝.又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝.因 x＋yy－x1?2?1?214－4y4x?为a＝＝，所以点M的轨迹方程为?x＋?＋?y－?＝(除去原点)，所以AM的最大值为 x＋yy－x2?2??2? ?－4＋1?＋?1?＋2＝32. ???2?2???2? 解后反思 此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹方程，解法1运用了几何法，解法2运用了参数法，消去参数a得到轨迹方程．另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论． 22
2020年高考数学二轮提升专题训练考点19 直线与圆(2)（含答案解析）
