解三角形中取值范围的求解策略

解三角形中取值范围的求解策略

◇ 山东 周志勇

【期刊名称】高中数理化 【年(卷),期】2017(000)017 【总页数】2

解三角形中确定边、角(或角的函数式)的取值范围是高考考查的重点题型,下面介绍一些求解策略,供同学们参考.

1 根据三角形的形状确定范围

例1 锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若b=2,B=2A,则边c的取值范围是________.

因为在锐角△ABC中,B=2A,所以A<45°,则A+B=3A=180°-C>90°,所以A>30°.

综上,30°

因为

△ABC为锐角三角形?3个内角都是锐角,即不等式0

2 利用三角形的边、角关系确定范围

例2 在不等边△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,边a为最大边,如果sin2(B+C)

C (,); D (,)

由题意得sin2A0,所以cos A=>0.

因为0. 因此得角A的取值范围是(,).故选D.

本题先根据正弦定理将角的正弦的不等关系转化为边的不等关系,再利用余弦定理和三角形中大边对大角确定角的取值范围.

例3 在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边为a、b、c,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是________.

因为△ABC是锐角三角形,且a0,cos C>0. 由cos C>0,得a2+b2>c2,于是c<; 由cos B>0,得a2+c2>b2,于是c>.

又根据三角形中,两边之和大于第三边、两边之差小于第三边,得b-a

综上可得

△ABC是锐角三角形?且三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;若A是钝角,则cos A<0且b+c>a.

3 化为三角函数确定范围

例4 △ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足sin2B-sin2A=sin2C-sin Asin C. (1) 求角B的值;

(2) 若b=且b≤a,求3a-csin B的取值范围.

(1) 在△ABC中,因为sin2B-sin2A=sin2C-sin Asin C,由正弦定理得b2-a2=c2-ac,所以=；由余弦定理得cos B=.因为B∈(0,π),所以B=. (2) 由正弦定理====2,得a=2sin A,c=2sin C,所以

3a-csin B=3a-c=6sin A-3sin C= 6sin A-3sin(-A)= sin A-cos A=3sin(A-). 因为b≤a,所以≤A<,所以≤A-<,所以≤sin(A-)<1. 所以3sin(A-)∈[,3),故3a-csin B的取值范围为[,3).

在△ABC中,根据正弦定理将边长转化为三角形内角的正弦值,进而转化为某一个角的三角函数来确定范围.

4 利用基本不等式确定范围

例5 (2016年山东卷) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知 2(tan A+tan B)=+. (1) 证明:a+b=2c; (2) 求cos C的最小值. (1) 由2(tan A+tan B)=+得 2×=+,

所以2sin C=sin B+sin A,由正弦定理,得 a+b=2c. (2) cos C=== -1≥-1=.

所以cos C的最小值为.

不等式知识在解三角形中的应用问题,主要是在利用正、余弦定理进行变换的基