第2讲 概率与统计(大题)
热点一 以二项分布为背景的期望与方差 利用二项分布解题的一般步骤： (1)根据题意设出随机变量. (2)分析随机变量服从二项分布. (3)找到参数n，p.
(4)写出二项分布的概率表达式. (5)求解相关概率.
例1 (2019·怀化模拟)在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如下频率分布直方图.
(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及期望. 解 (1)因为A，B，C三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人， 40
则C镇应选取80×＝16(人)，
200所以这40人中有16人来自C镇，
因为x＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户.
3
(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为，
53
3，?，则 显然X可取0,1,2,3，且X～B??5?2?38
P(X＝0)＝??5?＝125，
?3?1?2?2＝36， P(X＝1)＝C13
?5??5?125?3?2?2?1＝54， P(X＝2)＝C23
?5??5?125
3?327
P(X＝3)＝??5?＝125. 所以X的分布列为
X 0 1 2 3 P
8 12536 12554 12527 12583654279
所以期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 1251251251255
跟踪演练1 (2019·河北省五个一名校联盟联考)《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.
某校高一年级共2 000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169). (1)求物理原始成绩在区间(47,86]的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和期望.
(附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3)
解 (1)因为物理原始成绩ξ～N(60,132)， 所以P(47<ξ≤86)
＝P(47<ξ≤60)＋P(60<ξ≤86)
11
＝P(60－13<ξ≤60＋13)＋P(60－2×13<ξ≤60＋2×13) 22≈
0.682 70.954 5
＋ 22
≈0.818 6.
所以物理原始成绩在(47,86]的人数为2 000×0.818 6≈1 637. 2(2)由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为.
523，?， 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B??5?3?327
所以P(X＝0)＝??5?＝125， 2?3?254P(X＝1)＝C1＝， 3··5?5?125336?2?2·P(X＝2)＝C23·?5?5＝125，
2?38
P(X＝3)＝??5?＝125. 所以X的分布列为
X P
26所以期望E(X)＝3×＝.
55
热点二 以超几何分布为背景的期望与方差 求超几何分布的分布列的一般步骤： (1)确定参数N，M，n的值.
(2)明确随机变量的所有可能取值，并求出随机变量取每一个值时对应的概率. (3)列出分布列.
例2 (2019·茂名质检)2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93. (1)求该样本的中位数和方差；
(2)若把成绩不低于85分(含85分)的作品认为是优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.
解 (1)样本数据按从小到大的顺序排列为59,67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96. 81＋82数据的中位数为＝81.5，
2平均数为x＝
59＋67＋73＋76＋78＋81＋82＋84＋85＋86＋93＋96
＝80，
12方差为
11 186s2＝×(212＋132＋72＋42＋22＋12＋22＋42＋52＋62＋132＋162)＝≈98.83.
1212(2)设抽到优秀作品的个数为X， 则X的可能值为0,1,2,3， C356148
P(X＝0)＝3＝＝，
C1222055
1C2288C428×4
P(X＝1)＝3＝＝，
C12220552C1128C48×6
P(X＝2)＝3＝＝，
C1222055
0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125C3414
P(X＝3)＝3＝＝，
C1222055所以X的分布列为
X P
1428121
期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
55555555
跟踪演练2 (2019·天津市十二重点中学联考)某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A，B，C三个不同的专业，其中A专业2人，B专业3人，C专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目. (1)求3个人来自两个不同专业的概率；
(2)设X表示取到B专业的人数，求X的分布列与期望. 解 (1)令事件A表示“3个人来自于两个不同专业”， A1表示“3个人来自于同一个专业”， A2表示“3个人来自于三个不同专业”，
3
C3113＋C5
P(A1)＝3＝，
C1012011C13012C3C5
P(A2)＝3＝＝，
C101204
0 14 551 28 552 12 553 1 55∴3个人来自两个不同专业的概率 P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－
113079－＝. 120120120
(2)随机变量X的取值为0,1,2,3，
3C03573C7
P(X＝0)＝3＝＝，
C10120242C163213C7
P(X＝1)＝3＝＝，
C10120401C22173C7
P(X＝2)＝3＝＝，
C10120400C313C7
P(X＝3)＝3＝，
C10120
∴X的分布列为
X P
721719
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
24404012010
0 7 241 21 402 7 403 1 120
高考理科数学复习第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题4 第2讲 概率与统计(大题)
